Ciągi

Definicja ciągu
Ciąg liczbowy jest to funkcja, która jest określona tylko dla liczb naturalnych większych od zera.
Wyraz ogólny
Wyrazem ogólnym ciągu nazywamy wyrażeniean, dzięki któremu można łatwo wyliczyć kolejne wyrazy ciągu znając numery tych wyrazów.
Monotoniczność
Ciąg może być rosnący, malejący lub stały:

Ciąg rosnący an+1 > an
Ciąg malejący an+1 < an
Ciąg stały an+1 = an
Przykłady ciągów
Ciąg arytmetyczny - Każdy następny element ciągu różni się od poprzedniego o ściśle określoną liczbę r, zwaną różnicą ciągu.
Ciąg geometryczny - Każdy następny element ciągu różni się od poprzedniego ściśle określoną ilość razy q. Parametr q nazywany jest ilorazem ciągu.
Ciąg (an) nazywamy arytmetycznym, jeżeli dla każdego .
Jeżeli:
• r > 0 to ciąg jest rosnący
• r < 0 to ciąg jest malejący
• r = 0 to ciag jest stały

Wzór na kolejny wyraz ciągu

lub równoważnie

a1 – pierwszy wyraz ciągu
r – różnica ciągu

Suma , n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy r, wyraża się wzorem:

Ciąg geometryczny

Ciąg nazywamy geometrycznym, jeżeli dla każdego

Wzór na kolejny wyraz ciągu:

a1 – pierwszy wyraz ciągu
q – iloraz ciągu

Każdy wyraz ciągu geometrycznego oprócz pierwszego i (jeżeli ciąg jest skończony) ostatniego jest średnią geometryczną wyrazu poprzedniego i następnego:

Suma kolejnych wyrazów ciągu:


Jeżeli:
• to ciąg jest stały
• - to ciąg jest malejący
• - to ciąg jest malejący
• - to ciąg jest rosnący
• - to ciąg jest rosnący
• - to ciąg jest naprzemienny (kolejne wyrazy różnią się znakami)

Szereg geometryczny to ciąg sum częściowych ciągu geometrycznego:

Sumą nieskończonego ciągu geometrycznego (sumą szeregu geometrycznego) nazywamy granicę ciągu .
Jeżeli:


CIĄG ARYTMETYCZNY
Ciąg liczbowy nazywamy ciągiem arytmetycznym, gdy różnica między dowolnym wyrazem ciągu, a wyrazem bezpośrednio go poprzedzającym jest stała - oznaczamy ją przez r i nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.
np. an = ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ,8 )
a2 - a1 = 2 - 1 = 1
a3 - a2 = 3 - 2 = 1
a4 - a3 = 4 - 3 = 1
itd.

różnica r = 1
Ten ciąg jest arytmetyczny.

np. an = ( 1, 2, 3, 4, 5, 7, 6 , 21, 15 )
a2 - a1 = 2 - 1 = 1
a3 - a2 = 3 - 2 = 1
a4 - a3 = 4 - 3 = 1
a5 - a4 = 5 - 4 = 1
a6 - a5 = 7 - 5 = 2
itd.

różnica nie jest stała
Ten ciąg nie jest arytmetyczny.

Ciąg arytmetyczny jednoznacznie wyznaczają jego pierwszy wyraz - a1 i różnica r

Najważniejsze wzory:
an+1 − an = r różnica między dowolnym wyrazem,
a wyrazem bezpośrednio go poprzedzającym
an = a1 + (n − 1) r
wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego
Sn = n
wzór na sumę n początkowych, kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego
Sn = n
inaczej zapisany powyższy wzór:
w miejsce an wstawiam an = a1 + (n − 1) r


Przykłady:

Zad. 1
Czy ciąg an = n jest arytmetyczny?
Rozwiązanie:
Należy sprawdzić, czy różnica an+1 - an jest stałą liczbą.


Utwórzymy te różnicę: an = n

an+1 - an = n + 1 - n = 1 an+1 = n + 1

Różnica wynosi 1, czyli ciąg an = n jest arytmetyczny.


Zad. 2
Czy ciąg bn = n2 + 1 jest arytmetyczny?
Rozwiązanie:
Należy sprawdzić, czy różnica bn+1 - bn jest stała.



Utwórzmy wyraz bn+1

bn+1 = (n + 1)2 + 1 wstawiamy n +1 w miejsce n we wzorze n2 + 1

Teraz tworzymy różnicę:
bn+1 - bn = (n + 1)2 + 1 - (n2 + 1) =
= (n + 1)2 + 1 - n2 - 1 =
= n2 + 2n + 1 +1 - n2 - 1 =
= 2n +1

redukujemy wyrazy podobne

Różnica nie jest liczbą stałą! Wyrażenie 2n +1 zależy od n, przyjmuje różne wartości w zależności od tego ile wynosi n.
Ciąg bn = n2 + 1 nie jest arytmetyczny.
CIĄG GEOMETYCZNY
Ciąg liczbowy nazywamy ciągiem geometrycznym, gdy iloraz dowolnego wyrazu ciągu i wyrazu go poprzedzającego jest stały dla danego ciągu (oznaczamy go przez q).

np. 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128
4 : 2 = 2
8 : 4 = 2
16 : 8 = 2 itd.
iloraz wynosi q = 2
Powyższy ciąg jest geometryczny


np. 2, 8, 11, 22, 25, 50
8 : 2 = 4
11 : 8 = 1
22 : 11 = 2 itd.
iloraz nie istnieje
Powyższy ciąg nie jest geometryczny

Najważniejsze wzory:
= q
an ≠ 0
an = a1 • qn − 1 wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego
Sn = a1 •
q ≠ 1
wzór na sume n początkowych, kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego
S = a1 •
|q| < 1
wzór na sume wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego



Przykłady:

Zad. 1
Czy ciąg an = n2 jest geometryczny?
Rozwiązanie:
Należy sprawdzić, czy iloraz jest stały (jest liczbą).
Utwórzymy ten iloraz:

korzystamy ze wzoru
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2

Iloraz nie jest stały, zależy od n, zmienia swoją wartość wraz ze zmianą n.
Ciąg an = n2 nie jest geometryczny.


Zad. 2
Wiedząc, że ciąg jest geometryczny i mając dane a1 = 2; q = 1,25; n = 4 znajdź: an; Sn.
Rozwiązanie:
Najpierw znajdujemy an (n-ty wyraz ciągu geometrycznego).
W tym celu posłużymy się wzorem an = a1 • qn−1.

an = a1 • qn−1
a4 = 2 • (1,25)4 − 1
a4 = 2 • (1,25)3 = 2 • =
= 2 • =

do wymienionego wzoru podstawiamy dane z zadania

Teraz znajdujemy Sn (sumę n początkowych, kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego).
W tym celu posłużymy się wzorem Sn = a1 •
S4 = 2 • = 2 • =
= 2 • (−4) • (1 − ) =
= −8 • (1 − ) =
= −8 • ( − ) =
= −8 • =
= − =
S4 =

do wymienionego wzoru podstawiamy dane z zadania

Odp. a4 = , S4 =
Ciąg arytmetyczny

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego o danym pierwszym wyrazie a1 i różnicy r:

Wzór na sumę

początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego:

Między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi związek:

Ciąg geometryczny

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego o danym pierwszym wyrazie a1 i ilorazie q:

Wzór na sumę

początkowych n wyrazów ciągu geometrycznego:


Między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi związek: