Ciągi liczbowe i ich własności. granice ciągów liczbowych.

WYKŁAD 1 CIĄGI LICZBOWE I ICH WŁASNOŚCI. GRANICE CIĄGÓW LICZBOWYCH.
Ciągiem nazywamy każdą funkcję, określoną nadzbiorze liczb naturalnych lub na jego podzbiorze. Wartość ciągu dla argumentu n oznaczać będziemy (itp. np. ); natomiast ciąg jako funkcję oznaczamy
Ciąg nazywamy: nieskończonym, D = zbiór nieskończony; liczbowym, Zw jest podzbiorem R; ograniczonym z góry, jeżeli. M R, taka, n ; ograniczonym z dołu, , tzn. MR , taka,  n ; ograniczonym, istnieje liczba rzeczywista M>0, taka, n ;
Niech ( ) będzie rosnącym, nieskończonym ciągiem liczb N. Podciągiem ciągu nazywać będziemy ciąg o wyrazach
Otoczeniem liczby x o promieniu nazywamy przedział .
Liczbę nazywamy punktem skupienia zbioru , jeżeli w każdym otoczeniu punktu leżą punkty zbioru A, różne od . nie musi być elementem zbioru A)
Liczbę nazywamy punktem izolowanym zbioru A, jeżeli nie jest punktem skupienia zbioru A. Mówimy, że jest punktem skupienia zbioru A, jeżeli w każdym przedziale (odpowiednio w każdym przedziale ) leżą punkty zbioru A.
Mówimy, że liczba rzeczywista g jest granicą ciągu , jeżeli spełnia warunek

O ciągu, który posiada granicę w sensie powyższej definicji, mówimy, że jest zbieżny, a fakt, że g jest granicą ciągu zapisujemy Ciąg, który nie ma granicy w sensie powyższej definicji, nazywamy rozbieżnym.
Tw. 1 Ciąg ma granicę wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym otoczeniu liczby g leżą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu.
Wynika stąd, że* każdy ciąg może posiadać co najwyżej jedną granicę, *każdy ciąg zbieżny jest ograniczony,*ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego podciąg jest zbieżny do tej samej granicy, *ciąg , zawierający dwa podciągi zbieżne do różnych granic (lub zawierający podciąg rozbieżny), jest rozbieżny, *jeżeli prawie wszystkie wyrazy ciągu spełniają nierówność oraz , to ,
2 ciągi, różniące się skończoną ilością wyrazów, albo są jednocześnie rozbieżne, albo jednocześnie zbieżne do tej samej granicy.
Tw. 2 Jeżeli ciągi i są zbieżne odpowiednio do granic a i b, to zbieżne są ciągi oraz , , / oraz
Tw. 3 (o trzech ciągach) Jeżeli wyrazy ciągów , , spełniają dla prawie wszystkich n nierówności oraz ciągi i są zbieżne do tej samej granicy g, to ciąg jest również zbieżny do g.
W szczególności, jeżeli ciąg jest ograniczony, a ciąg jest zbieżny do 0, to ciąg jest zbieżny do 0.
Tw. 4 Każdy ciąg niemalejący i ograniczony z góry (nierosnący i ograniczony z dołu) jest zbieżny.
Wśród ciągów rozbieżnych ważną rolę odgrywają tzw. ciągi rozbieżne do lub do .
Mówimy, że ciąg jest rozbieżny do (jest rozbieżny do ), jeżeli spełnia następujący warunek

Fakt ten zapisujemy odpowiednio . Granice ciągu nazywamy granicami niewłaściwymi ciągu.
Można wykazać, że jeżeli ciągi i są oba rozbieżne do , to ich suma jest ciągiem rozbieżnym do . Symbolicznie zapisujemy to jako itp
(a,b oznaczają tu skończone i ≠ 0 granice ciągu; ciągi zbieżne do zera z prawej lub lewej strony).
Symbolem nieoznaczonym typu nazywamy różnicę dwóch ciągów i , z których każdy jest rozbieżny do (albo każdy jest rozbieżny do ). Granica takiego ciągu zależy od postaci ciągów i .Podobnie definiujemy wszystkie symbole nieoznaczone: .
Liczba e.
Rozważmy ciąg liczbowy i dwumian Newtona nierówności Bernoulliego: ,
ciąg jestrosnący. Ciąg jako monotoniczny i ograniczony jest zbieżny. Ponieważ wszystkie jego wyrazy należą do przedziału (2,3), więc jego granica musi być liczbą z przedziału domkniętego . oznaczać będziemy literą e. Tw. 5 Dla dowolnego ciągu zbieżnego do zera prawdziwa jest równość
WYKŁAD 2 GRANICA FUNKCJI, CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
Zakładamy, że funkcja f jest określona w pewnym zbiorze A, mającym pkt skupienia (w samym punkcie funkcja może być określona lub nie, może być liczbą rzeczywistą lub ). Mówimy, że funkcja f posiada w punkcie granicę g (co zapisujemy ) – (g może być skończona lub nie) – jeżeli

Mówimy, że funkcja f posiada w punkcie granicę prawostronną (lewostronną) g (co zapisujemy ) – g może być skończona lub nie – jeżeli
[( ) () ( )]
[( ) ( ) ( )]
Sąsiedztwem punktu nazywamy otoczenie punktu , z którego usunięto punkt - czyli zbiór . Sąsiedztwem lewostronnym (prawostronnym) punktu nazywamy przedział . W twierdzeniach, dotyczących granic funkcji w punkcie wystarczy zakładać, że funkcja jest określona w odpowiednim sąsiedztwie punktu .
Tw. 1 Funkcja f posiada w punkcie granicę g wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją w tym punkcie obie granice jednostronne i są one równe.
Tw. 2 Granica funkcji f w punkcie jest wyznaczona jednoznacznie (oczywiście o ile istnieje).
Tw. 3 Jeżeli istnieje ciąg , zbieżny do , taki, że ciąg nie ma granicy (ani skończonej, ani nieskończonej), to funkcja f nie ma w punkcie granicy. Podobnie, jeśli istnieją dwa ciągi , takie, że ciągi są zbieżne do różnych granic, to funkcja f nie ma granicy w punkcie .
Tw. 4 Jeżeli funkcje f i g, określone na zbiorze A, mają w punkcie (skończonym lub nie) granice skończone a i b, to ich suma, różnica i iloczyn posiadają w punkcie granice oraz
/ , .
Tw. 5 (o trzech funkcjach) Jeżeli funkcje f, g, h określone w pewnym sąsiedztwie punktu , oraz , to istnieje granica funkcji g w punkcie i zachodzi równość
I tak np. przez symbol nieoznaczony w punkcie rozumiemy potęgę , gdzie
Tw. 6 Jeżeli funkcja f jest określona w pewnym sąsiedztwie punktu oraz , to
Załóżmy teraz, że funkcja jest określona na zbiorze A oraz że . Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie , jeżeli spełnia warunek

Jeżeli funkcja jest ciągła w każdym punkcie dziedziny, to nazywamy ją funkcją ciągłą.
W szczególności:
jeżeli jest punktem izolowanym zbioru A, to funkcja f jest ciągła w tym punkcie – w szczególności ciąg jest funkcją ciągłą.
jeżeli jest punktem skupienia zbioru A, to funkcja f jest ciągła w tym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje w tym punkcie granica tej funkcji i jest równa wartości funkcji w tym punkcie:
Jeżeli funkcja f jest określona na zbiorze A oraz do zbioru A należy przedział (odpowiednio ), to mówimy, że funkcja f jest lewostronnie (prawostronnie) ciągła w punkcie , jeżeli spełnia warunek
Tw. 7 Funkcja f określona w pewnym otoczeniu punktu jest ciągła w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy jest w tym punkcie lewo- i prawostronnie ciągła.
Tw. 8 Suma, różnica i iloczyn funkcji f i g ciągłych w punkcie jest funkcją ciągłą w punkcie . Iloraz funkcji ciągłych f /g jest funkcją ciągłą w punkcie , jeżeli .
Tw. 9 Jeżeli funkcja f, określona w pewnym otoczeniu punktu , przyjmuje w punkcie wartość dodatnią (ujemną), to istnieje otoczenie , w którym funkcja f przybiera wartości dodatnie (ujemne) – inaczej mówiąc – dla każdego spełniona jest nierówność .
Tw. 10 Wszystkie funkcje elementarne są ciągłe
Do funkcji elementarnych zaliczamy: wielomiany, funkcje wymierne, potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne i cyklometryczne.
Tw. 11 (własność Darboux) Funkcja f ciągła w przedziale zawierającym punkty a i b przybiera każdą wartość zawartą pomiędzy i (tzn. dla każdego należącego do przedziału o końcach i istnieje taki należący do przedziału o końcach a i b, dla którego zachodzi równość . W szczególności f przybiera wartość 0, jeżeli .
Tw. 12 (Weierstrassa) Funkcja ciągła w przedziale domkniętym i ograniczonym osiąga w tym przedziale wartość najmniejszą i największą – tzn. istnieją liczby takie, że
oraz
, gdzie a jest +, zaś , to niezależnie od postaci funkcji f,g zawsze zachodzi równość . Symbolicznie zapisujemy ten fakt w postaci „równości” . itp
( oznacza, że funkcja dąży do zera poprzez wartości dodatnie albo - odpowiednio - ujemne)
FUNKCJA ODWROTNA I FUNKCJE CYKLOMETRYCZNE
Załóżmy, że funkcja jest określona i różnowartościowa na zbiorze A. Niech B będzie Zw funkcji f. Jeżeli każdemu przyporządkujemy ten , dla którego spełniona jest równość (różnowartościowa), to określoną w ten sposób funkcję nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f i oznaczamy . D =B, a Zw = A. Zauważmy, że zachodzi równoważność
wykresy są symetryczne względem prostej .
Wprost z definicji wynika, że
Zauważmy, że dla oraz dla liczb zachodzi równoważność , a więc funkcje logarytmiczna i wykładnicza przy tych samych podstawach są odwrotne.
Jest jednak różnowartościowa w przedziałach oraz . . funkcją odwrotną do funkcji , rozważanej w przedziale jest funkcja , zaś funkcją odwrotną do funkcji , rozważanej w przedziale jest funkcja .
Funkcje trygonometryczne nie są różnowartościowe. Funkcjami cyklometrycznymi nazywamy funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych, rozważanych w podanych przedziałach (i tylko w nich)




FUNKCJA ZŁOŻONA
Niech będą dane trzy zbiory oraz dwie funkcje: , odwzorowująca zbiór A na zbiór B oraz , odwzorowująca zbiór B w zbiór C. Funkcją złożoną z funkcji f i g nazywamy funkcję określoną wzorem . Funkcja ta odwzorowuje zbiór A w zbiór C. Z definicji funkcji odwrotnej i funkcji złożonej wynika, że jeżeli f jest funkcją różnowartościową, odwzorowującą zbiór A na zbiór B, to prawdziwe są równości:
dla dla
WYKŁAD 3 POCHODNA FUNKCJI.
jest określona w pewnym otoczeniu U punktu , zaś będzie na tyle małą liczbą rzeczywistą (dodatnią lub ujemną), by .
Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie dla przyrostu nazywamy wyrażenie
Tw. 1 Iloraz różnicowy jest współczynnikiem kierunkowym siecznej wykresu funkcji f, przechodzącej przez punkty oraz wykresu tej funkcji.
Pochodną funkcji f w punkcie nazywać będziemy granicę ,
o ile granica ta istnieje i jest skończona. Pochodną funkcji f w punkcie oznaczać będziemy .
Granicejednostronne
Tw. 2 Pochodna funkcji f w punkcie jest współczynnikiem kierunkowym stycznej do wykresu funkcji f, poprowadzonej w punkcie .
Styczną do wykresu funkcji f, poprowadzoną w punkcie nazywać będziemy prostą o równaniu
Pochodną funkcji f nazywać będziemy funkcję, która każdemu argumentowi funkcji f, w którym istnieje pochodna tej funkcji, przyporządkowuje wartość pochodnej funkcji w tym punkcie – tzn. liczbę .
Tw. 3 Jeżeli funkcja f posiada pochodną w punkcie , to jest w tym punkcie ciągła.

Tw. 4 Jeżeli funkcje f, g posiadają pochodne w punkcie x, to funkcje posiadają pochodne w tym punkcie oraz zachodzą równości
, to funkcja posiada pochodną w punkcie x oraz
Tw. 5 (o pochodnej funkcji złożonej) Jeżeli funkcja posiada pochodną w punkcie , a funkcja posiada pochodną w punkcie , to funkcja złożona posiada pochodną w punkcie oraz

Tw. 6 (o pochodnej funkcji odwrotnej) Jeżeli funkcja f jest monotoniczna i ciągła na przedziale oraz posiada pochodną w punkcie , różną od zera , to funkcja odwrotna posiada pochodną w punkcie oraz zachodzi równość
Różniczką funkcji f w punkcie dla przyrostu nazywamy wyrażenie
Różniczka funkcji daje przybliżony przyrost wartości funkcji dla małych przyrostów argumentu.
,
Tw. 7 (reguła de l’Hospitala) Jeżeli
funkcje f i g są określone i różniczkowalne w pewnym sąsiedztwie punktu
wyrażenie jest w punkcie wyrażeniem nieoznaczonym lub
istnieje granica , istnieje granica i zachodzi równość .
Pozostałych pięć symboli nieoznaczonych może być liczone z użyciem z reguły de l’Hospitala ale trzeba przekształcić.
Nie wolno stosować reguły de l’Hospitala do liczenia granic wyrażeń oznaczonych!
W regule de l’Hospitala może być zarówno liczbą rzeczywistą, jak i . Można liczyć granice jednostronne
WYKŁAD 4 EKSTREMA LOKALNE FUNKCJI, ASYMPTOTY FUNKCJI.
Tw. 1 (Rolle’a) Jeżeli funkcja spełnia warunki: jest określona i ciągła w przedziale , jest różniczkowalna w przedziale , , to istnieje punkt , taki, że
Tw. 2 (Lagrange’a) Jeżeli funkcja spełnia warunki, jest określona i ciągła w przedziale , jest różniczkowalna w przedziale , to istnieje punkt , taki, że
Wnioski z tw. Lagrange’a
Jeżeli funkcja f ma w każdym punkcie przedziału pochodną większą od zera (mniejszą od zera), to f jest na tym przedziale rosnąca (malejąca).
Jeżeli funkcja f ma w każdym punkcie przedziału pochodną równą 0, to jest na tym przedziale stała.
Dwie funkcje f, g , które mają na przedziale tę samą pochodną, różnią się o stałą.
Mówimy, że funkcja f osiąga w punkcie maksimum lokalne (minimum lokalne), jeżeli istnieje takie otoczenie U punktu , że dla każdego punktu spełniona jest nierówność
Liczbę nazywamy wówczas odpowiednio maksimum lokalnym (minimum lokalnym).
Tw. 3 (Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej) Jeżeli funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu , jest różniczkowalna w punkcie i posiada w punkcie ekstremum, to .
Tw. 4 (Warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego) Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w pewnym otoczeniu U punktu oraz i dla zachodzi jeden z warunków: dla i dla , dla i dla , to funkcja f osiąga w punkcie odpowiednio maksimum (minimum) lokalne.
Pochodną drugiego rzędu (drugą pochodną) funkcji f nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji
Mówimy, że funkcja f jest wypukła (wklęsła) na pewnym zbiorze A, jeżeli dla dowolnych punkty wykresu funkcji f w przedziale leżą poniżej (powyżej) siecznej, przechodzącej przez punkty oraz .
Tw. 5 Jeżeli funkcja f posiada na przedziale ciągłe pochodne pierwszego i drugiego rzędu oraz dla , to funkcja f jest na tym przedziale wypukła (wklęsła).
Tw. 6 Jeżeli funkcja f posiada w otoczeniu punktu pochodne pierwszego i drugiego rzędu ciągłe oraz , to funkcja f osiąga w punkcie ekstremum – i jest to minimum, jeżeli , a maksimum, jeżeli
Mówimy, że punkt jest punktem przegięcia wykresu funkcji f, jeżeli w pewnym lewostronnym
sąsiedztwie punktu funkcja f jest wklęsła, a w pewnym prawostronnym sąsiedztwie tego punktu jest wypukła lub na odwrót.
Tw. 7 (Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia funkcji różniczkowalnej) Jeżeli funkcja f posiada w otoczeniu punktu pochodne pierwszego i drugiego rzędu oraz punkt jest punktem przegięcia wykresu funkcji f, to .
Tw. 8 (Warunek dostateczny istnienia punktu przegięcia) Jeżeli funkcja f posiada w otoczeniu punktu pochodne pierwszego i drugiego rzędu oraz w lewostronnym sąsiedztwie punktu druga pochodna jest dodatnia, a w prawostronnym sąsiedztwie jest ujemna (lub na odwrót),to punkt jest punktem przegięcia krzywej
Jeżeli jest punktem skupienia dziedziny funkcji f oraz istnieje granica jednostronna i jest niewłaściwa, to prostą nazywamy asymptotą pionową lewostronną (prawostronną) funkcji f.
Jeżeli funkcja f jest określona co najmniej w przedziale oraz istnieje prosta o równaniu taka, że , to prostą nazywamy asymptotą ukośną lewostronną (prawostronną) funkcji f.
W szczególnym przypadku, gdy , asymptota ukośna jest asymptotą poziomą (ma to miejsce wtedy, gdy funkcja ta ma w lub w skończoną granicę).
Badanie przebiegu zmienności funkcji:
1. Dziedzina funkcji.
2. Granice funkcji na brzegu dziedziny.
3. Asymptoty funkcji.
4. Ekstrema i przedziały monotoniczności funkcji: pierwsza pochodna funkcji, jej miejsca zerowe i punkty nieróżniczkowalności, znak pierwszej pochodnej.
5. Wklęsłość i wypukłość funkcji oraz jej punkty przegięcia: pochodna drugiego rzędu, jej miejsca zerowe i znak.
6. Zebranie wyników w tabelce.
7. Narysowanie wykresu funkcji.
Załóżmy, że funkcja f jest określona, rosnąca i ciągła na przedziale . Przedział dzielimy na n równych części za pomocą punktów . Dla każdego niech oznacza przyrost wartości funkcji f na przedziale , tzn. liczbę (dodatnią) .
Jeżeli dla każdego ustalonego ciąg
jest ciągiem rosnącym, to mówimy, że funkcja rośnie coraz szybciej na przedziale ; jeżeli ciąg jest ciągiem malejącym, to mówimy, że funkcja rośnie coraz wolniej na przedziale .
Jeżeli funkcje posiadają pochodne pierwszego i drugiego rzędu na przedziale , to tempo wzrostu funkcji można w prosty sposób odczytać z zachowania tych pochodnych na podanym przedziale
Mówiąc krócej: jeśli znaki pierwszej i drugiej pochodnej są takie same, to zmiany zachodzą coraz szybciej; jeśli są przeciwne, to zachodzą coraz wolniej.
WYKŁAD 5 SZEREGI LICZBOWENiech będzie dowolnym ciągiem liczbowym. Szeregiem liczbowym o wyrazach nazywamy wyrażenie Wyrażenie to zapisujemy również jako . Za pomocą ciągu tworzymy nowy ciąg Ciąg nazywamy ciągiem sum częściowych szeregu . Mówimy, że szereg jest zbieżny, jeżeli ciąg sum częściowych jest zbieżny (tzn. jego granica jest liczbą rzeczywistą), a granicę s ciągu nazywamy sumą szeregu . Jeżeli ciąg jest rozbieżny (czyli gdy nie ma granicy lub jego granica jest niewłaściwa), szereg nazywamy rozbieżnym.Oczywiste jest, że dwa szeregi różniące się skończoną ilością wyrazów są jednocześnie zbieżne (wtedy ich sumy mogą się różnić) albo są jednocześnie rozbieżne
Tw. 1 (warunek konieczny zbieżności szeregów) Jeżeli szereg ¬ jest zbieżny, to
Tw. 2 (kryterium porównawcze zbieżności szeregów) Jeżeli wyrazy dwóch szeregów , spełniają dla prawie wszystkich n nierówności:
Ze zbieżności szeregu wynika zbieżność szeregu , Z rozbieżności szeregu wynika rozbieżność szeregu
Często do rozstrzygnięcia zbieżności szeregu porównuje się go z tzw. szeregiem harmonicznym rzędu - tzn. z szeregiem . Szereg taki jest zbieżny, gdy , jest rozbieżny, gdy .
Tw. 3 (kryterium Cauchy’ego zbieżności szeregów). Jeżeli wyrazy szeregu są nieujemne oraz istnieje granica , to szereg jest zbieżny, gdy , a jest rozbieżny gdy .

Tw. 4 (kryterium d’Alemberta zbieżności szeregów). Jeżeli wyrazy szeregu są dodatnie oraz istnieje granica , to szereg jest zbieżny, gdy , a jest rozbieżny gdy .
Kryteria Cauchy’ego i d’Alemberta nie rozstrzygają sytuacji, gdy - szeregi takie mogą być zarówno zbieżne, jak i rozbieżne (oczywiście nie jednocześnie). Z podanych trzech kryteriów dla szeregów o wyrazach nieujemnych najsilniejsze jest kryterium porównawcze - kryteria Cauchy’ego i d’Alemberta są bowiem wnioskami z niego.
Tw. 5 (kryterium Leibniza) Jeżeli ciąg jest ciągiem malejącym do 0, to szereg jest zbieżny.
Szereg z twierdzenia Leibniza nazywamy szeregiem naprzemiennym.
Na mocy kryterium Leibniza szereg jest zbieżny. Nazywamy go szeregiem anharmonicznym.
Szereg nazywamy bezwzględnie zbieżnym, jeżeli jest zbieżny. Szereg, który jest zbieżny, ale nie jest bezwzględnie zbieżny, nazywamy warunkowo zbieżnym.
Tw. 6 (kryterium bezwzględnej zbieżności). Jeżeli szereg jest bezwzględnie zbieżny, to jest zbieżny.
Szeregiem warunkowo zbieżnym jest np. szereg anharmoniczny. Oczywiste jest, że każdy szereg zbieżny o wyrazach nieujemnych jest szeregiem bezwzględnie zbieżnym.
WYKŁAD 6 CAŁKA NIEOZNACZONA
Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym przedziale . Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f w danym przedziale, jeżeli dla każdego zachodzi równość ,
lub, co na jedno wychodzi, jeśli jest różniczką funkcji .
Załóżmy, że f jest funkcją, określoną na przedziale I. Całką nieoznaczoną funkcji f nazywać będziemy rodzinę wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f i oznaczamy
Tw. 1 Jeśli F jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji f, to ,gdzie C jest dowolną stałą
Własności całki nieoznaczonej
Jeżeli f jest funkcją różniczkowalną na przedziale I, to
Dla dowolnych funkcji określonych na przedziale I oraz dowolnej liczby rzeczywistej C zachodzą wzory , ,
Tw. 2 (o całkowaniu przez części) Jeżeli funkcje f i g są ciągłe wraz z pochodnymi na przedziale I, to na przedziale I zachodzi wzór
Tw. 3 (o całkowaniu przez podstawienie) Jeżeli jest funkcją monotoniczną, różniczkowalną i ciągłą wraz z pochodną na przedziale oraz przekształca ten przedział na przedział , na którym jest określona funkcja ciągła , to zachodzi równość ,
WYKŁAD 7 CAŁKA OZNACZONA
Załóżmy, że funkcja jest określona i ograniczona w przedziale domkniętym . Przedział ten dzielimy na n części za pomocą punktów
Oznaczmy dla , zaś przez największą spośród w ten sposób określonych liczb . W każdym z przedziałów wybieramy dowolny i tworzymy sumę
Jeżeli istnieje skończona granica ciągu , niezależna od wyboru punktów , jeżeli tylko , to nazywamy ją całką oznaczoną funkcji f w przedziale i oznaczamy
Liczby a i b nazywają się odpowiednio dolną i górną granicą całkowania. Sumy nazywamy sumami całkowymi Riemanna, a funkcję f, posiadającą w ten sposób określoną całkę – funkcją całkowalną na przedziale .
Jako pomocnicze narzędzie badania , na równi z sumami całkowymi Riemanna, wprowadzamy inne, podobne do nich, ale prostsze sumy – tzw. sumy Darboux. Przez i oznaczamy odpowiednio kresy dolny i górny funkcji f w przedziale i tworzymy sumy oraz ,
zwane odpowiednio dolną i górną sumą całkową Darboux. Prawdziwe oczywiście są nierówności
Tw 1 Na to, by istniała całka oznaczona potrzeba i wystarcza, by , jeżeli tylko .
Tw. 2 Każda funkcja ciągła na przedziale jest w tym przedziale całkowalna.
Tw. 3 Każda funkcja f ograniczona w przedziale i mająca w nim tylko skończoną ilość punktów nieciągłości, jest w tym przedziale całkowalna.
Przedziałem zorientowanym (gdzie a<b lub a>b) nazywać będziemy zbiór liczb x spełniających jedną z nierówności lub i uporządkowanych w kierunku wzrastania, jeśli a<b albo w kierunku malenia, jeśli a>b. Przyjmujemy dodatkowe umowy:
jeżeli a>b, to przyjmujemy, że , jeżeli , przyjmujemy, że
Własności całek oznaczonych
Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale i , to
, to również funkcja kf (gdzie k jest stałą), jest całkowalna na przedziale oraz
to również funkcje są całkowalne na przedziale oraz
nieujemna na tym przedziale oraz a<b, to
dodatnia na tym przedziale oraz a<b, to
i dla wszystkich zachodzi nierówność , to również
, to
Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale i oraz w całym przedziale zachodzi nierówność , to
(tw. o wartości średniej) Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale oraz w całym przedziale zachodzi nierówność , to , gdzie . Liczbę nazywamy średnią całkową funkcji f na przedziale
Jeżeli F jest dowolną funkcją pierwotną funkcji ciągłej f na przedziale , to (ten ostatni wzór nosi nazwę podstawowego wzoru rachunku całkowego)

(Tw. o całkowaniu przez części dla całek oznaczonych) Jeżeli funkcje f i g są ciągłe wraz z pochodnymi na przedziale , to zachodzi równość ,gdzie
(Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie dla całek oznaczonych) Jeżeli jest funkcją ciągłą na przedziale , zaś jest funkcją określoną na przedziale , odwzorowującą ten przedział na przedział , mającą na tym przedziale ciągłą pochodną i przyjmującą wartości z przedziału , przy czym , to

Jeżeli na przedziale są określone funkcje ciągłe f i g oraz na tym przedziale spełniona jest nierówność , to pole obszaru ograniczonego wykresami tych funkcji prostymi jest równe

WYKŁAD 8 FUNKCJA GÓRNEJ GRANICY CAŁKOWANIA
Załóżmy, że funkcja jest całkowalna na przedziale . Wówczas dla każdej liczby istnieje całka oznaczona
Tw. 1 Funkcja jest funkcją ciągłą w każdym punkcie przedziału . Ponadto w każdym punkcie , w którym funkcja f jest ciągła, funkcja F posiada pochodną oraz .
Wniosek. Każda funkcja f ciągła na przedziale ma na tym przedziale funkcję pierwotną (całkę nieoznaczoną) w postaci całki oznaczonej (1). Funkcję F nazywamy funkcją górnej granicy całkowania.
Tw. 2 (podstawowe twierdzenie rachunku całkowego) Jeżeli jest dowolną funkcją pierwotną funkcji ciągłej w przedziale , to
CAŁKA NIEWŁAŚCIWA
Załóżmy, że funkcja jest określona w przedziale i całkowalna w każdym przedziale domkniętym , gdzie . Istnieje zatem dla takich całka
Punkt b nazywać będziemy punktem osobliwym funkcji f, jeżeli lub gdy b jest liczbą skończoną lecz funkcja f jest nieograniczona dla .
Jeżeli b jest punktem osobliwym funkcji f istnieje skończona granica , to nazywamy ją całką niewłaściwą
funkcji f i oznaczamy . Zatem
Jeżeli ta granica nie istnieje lub jest niewłaściwa, to całkę nazywamy rozbieżną
WYKŁAD 9 ALGEBRA MACIERZY
pary uporządkowane liczb rzeczywistych (a,b). Dwie takie pary i uważamy za równe wtedy i tylko wtedy, gdy i . Niech Z będzie pewnym zbiorem takich par. Jeżeli każdej parze zostanie w sposób jednoznaczny przyporządkowana liczba rzeczywista , to przyporządkowanie takie nazywamy funkcją rzeczywistą f dwóch zmiennych i oznaczać będziemy . Zbiór Z nazywamy D funkcji f, a liczbę wartością funkcji f dla pary .
Niech m,n będą ustalonymi liczbamiN+. Rozważmy wszystkie pary uporządkowane liczb naturalnych , takie, że . Macierzą o m wierszach i n kolumnach nazywamy każdą funkcję rzeczywistą, określoną na zbiorze opisanych wyżej par liczb naturalnych. Ponieważ dziedzina tej funkcji składa się ze skończonej ilości par, więc wygodnie jest zapisać tę funkcję w postaci tablicy prostokątnej lub lub
Liczbę – czyli wartość tej funkcji odpowiadającą parze uporządkowanej – nazywamy elementem macierzy, liczby m i n wymiarami macierzy.
Elementy , macierzy kwadratowej A nazywamy elementami głównej przekątnej.
Macierz kwadratową nazywamy *macierzą jednostkową, jeżeli . Macierz jednostkową oznaczać będziemy I lub
*macierzą diagonalną, jeżeli dla *dolnotrójkątną, jeżeli dla ,
• górnotrójkątną, jeżeli dla ,
• symetryczną, jeżeli (czyli gdy dla ).
Macierze prostokątne i nazywamy równymi, jeżeli dla
Iloczynem macierzy przez liczbę rzeczywistą nazywamy macierz .
Różnicą macierzy i nazywamy macierz - czyli macierz . Macierz tę oznaczać będziemy .
Iloczynem skalarnym wektorów i nazywamy liczbę = .
Iloczynem macierzy i nazywamy macierz , gdzie
Uwaga.
• Iloczyn macierzy AB istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy ilość kolumn = ilości wierszy
• Element iloczynu macierzy AB jest iloczynem skalarnym i-tego wiersza macierzy A i k-tej kolumny macierzy B.
• Do szukania iloczynu macierzy wygodnie jest użyć tzw. schematu Falcka.
Wprost z podanych definicji wynikają następujące równości dla dowolnych macierzy A,B,C,D i dowolnej liczby rzeczywistej (pod warunkiem, że wymiary tych macierzy są dobrane tak, by podane działania były wykonalne). (łączność dodawania macierzy) (przemienność dodawania macierzy) (łączność mnożenia macierzy) (rozdzielność mnożenia macierzy przez liczbę rzeczywistą względem dodawania macierzy)
(rozdzielność mnożenia macierzy względem dodawania macierzy)



WYKŁAD 10 WYZNACZNIKI
Rozważamy macierz kwadratową stopnia n:
Wyznacznikiem tej macierzy nazywamy liczbę det A, określoną następująco: (definicja indukcyjna względem stopnia n macierzy)
Jeżeli (tzn. ), to przyjmujemy, że det A =
Jeżeli to wyznacznik macierzy stopnia n definiujemy jako liczbę

gdzie oznacza wyznacznik, który powstaje z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza i pierwszej kolumny.
Minorem macierzy A (niekoniecznie kwadratowej) nazywamy wyznacznik, który powstaje z tej macierzy przez skreślenie pewnej ilości wierszy i kolumn.
Przez oznaczamy wyznacznik macierzy kwadratowej, który powstaje z niej przez skreślenie i-tego wiersza i k-tej kolumny.
Liczbę nazywamy algebraicznym dopełnieniem elementu .
Tw. Laplace’a. Wyznacznik macierzy A jest równy sumie wszystkich iloczynów każdego elementu dowolnej kolumny (dowolnego wiersza) i odpowiadającego temu elementowi dopełnienia algebraicznego, tzn.
,
Własności wyznaczników
Jeżeli w wyznaczniku elementy jakiegoś wiersza (lub kolumny) = zero, to wyznacznik = 0.
Przestawienie dwóch wierszy (kolumn) macierzy powoduje zmianę znaku wyznacznika.
Wyznacznik o dwóch jednakowych wierszach (kolumnach) jest równy 0.
Wspólny czynnik wszystkich elementów danego wiersza (kolumny) można wyłączyć przed wyznacznik.
Wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie, jeżeli do elementów dowolnego wiersza (kolumny) dodamy elementy innego wiersza (kolumny) pomnożone przez dowolną liczbę rzeczywistą.
Wyznacznik o dwóch proporcjonalnych wierszach (kolumnach) =0.
Wyznacznik macierzy transponowanej jest równy wyznacznikowi tej macierzy
Tw. Cauchy’ego. Wyznacznik iloczynu macierzy kwadratowych tego samego stopnia = iloczynowi wyznaczników tych macierzy, czyli
Rzędem macierzy prostokątnej A nazywamy najwyższy stopień różnych od zera podwyznaczników (minorów) tej macierzy. Rząd macierzy A oznaczamy rz A.
Przyjmujemy, że rząd macierzy zerowej =0.
Tw. 1 Rząd macierzy nie ulegnie zmianie, jeżeli:
elementy pewnego wiersza (pewnej kolumny) pomnożymy przez liczbę ≠ zera.
elementy pewnego wiersza (pewnej kolumny) pomnożymy przez liczbę R i + do elementów innego wiersza (innej kolumny)
usuniemy z macierzy wiersz (kolumnę) złożoną z samych 0.
skreślimy 1 z 2proporcjonalnych wierszy (jedną z dwóch proporcjonalnych kolumn).
przestawimy 2 wiersze (2kolumny).
Jeżeli rz A = r, to znaczy, że istnieje co najmniej jeden ≠ 0 minor macierzy A stopnia r oraz że wszystkie minory stopnia wyższego niż r (o ile istnieją) są = 0.


Jeżeli A jest macierzą kwadratową stopnia n, to rz wtedy i tylko wtedy, gdy macierz A jest nieosobliwa.
Jeżeli A jest macierzą trójkątną, to rz A jest = liczbie ≠ 0elementów głównej przekąt
WYKŁAD 11
TW. KRONECKERA-CAPELLIEGO, METODA GAUSSA
Układem m równań liniowych o n niewiadomych nazywamy układ postaci:
gdzie współczynniki są danymi liczbami R Macierze A [A/B] nazywać będziemy odpowiednio macierzą współczynników tego układu i jego macierzą rozszerzoną; wektor wektorem wyrazów wolnych.
Rozwiązaniem szczególnym układu (1) nazywamy każdy wektor , którego współrzędne spełniają ten układ.
Rozwiązaniem ogólnym tego układu nazywamy zbiór wszystkich rozwiązań szczególnych tego układu.
Tw. 2 (Kroneckera-Capelliego)
Układ równań liniowych (1) posiada rozwiązanie, gdy
Jeżeli , to układ jest oznaczony.
Jeżeli , to układ jest nieoznaczony, przy czym rozwiązania zależą od n – r parametrów przebiegających zbiór liczb R.
Wykonując na równaniach układu równań liniowych następujące operacje:
Przestawienie miejscami 2 dowolnych równań układu,
* obu stron dowolnego równania przez liczbę ≠ 0
+ stronami do dowolnego równania układu, innego równania tego układu * przez dowolną liczbę R
Zamiana w każdym z równań tych samych 2 zmiennych miejscami (razem z przypisanymi do nich współczynnikami)
otrzymujemy nowy układ równoważny danemu układowi.
na wierszach macierzy rozszerzonej – będziemy je nazywać operacjami elementarnymi. możemy dokonywać analogicznych operacji na wierszach macierzy rozszerzonej układu. Opisana tu metoda rozwiązywania układów równań liniowych nosi nazwę metody Gaussa-Jordana albo metody operacji elementarnych.
Tw. 5 Stosując metodę operacji elementarnych na wierszach macierzy rozszerzonej układu równań liniowych (i ewentualnie przestawiając kolumny macierzy współczynników) możemy macierz rozszerzoną układu sprowadzić do jednej z postaci bazowych (kanonicznych):

I jednostkową, M resztkowa, macierze powstają z przekształcania kolumny wyrazów wolnych za pomocą operacji elementarnych.
Z twierdzenia Kroneckera-Capelliego wynika, że w pierwszych 2 przypadkach układ jest niesprzeczny – w pierwszym oznaczony, w drugim nieoznaczony. W pozostałych dwóch jest niesprzeczny , gdy macierz jest macierzą 0 (i wtedy układ trzeci jest oznaczony, czwarty – nieoznaczony).
Układ (1) nazywamy układem Cramera, jeżeli oraz det A (tzn. macierz współczynników jest nieosobliwa)
Tw. 3 (Cramera) Układ Cramera jest układem oznaczonym, a jego jedyne rozwiązanie wyraża się wzorami: …,
oznacza tutaj wyznacznik macierzy, która powstaje z macierzy A przez zastąpienie i-tej kolumny tej macierzy kolumną wyrazów wolnych.
Parametry nazywać będziemy inaczej zmiennymi niebazowymi, w odróżnieniu od pozostałych zmiennych, zwanych zmiennymi bazowymi.
Jeżeli układ równań liniowych posiada nieskończenie wiele rozwiązań, to wśród nich ważną rolę odgrywają tzw. rozwiązania bazowe. Są to takie rozwiązania, w których wszystkie zmienne niebazowe są równe0.
Układ równań, w którym wektor wyrazów wolnych jest wektorem zerowym, nazywa się układem jednorodnym. Z tw. Kroneckera-Capelliego wynika, że
Tw. 4 Każdy układ jednorodny posiada rozwiązanie.
• Jeżeli rząd macierzy współczynników (rz A) jest równy ilości niewiadomych n, to układ taki posiada tylko jedno rozwiązanie – i jest nim wektor zerowy.
• Jeżeli rz A<n, to układ jednorodny posiada nieskończenie wiele rozwiązań z parametrami
• WYKŁAD 12
MACIERZ ODWROTNA, RÓWNANIA MACIERZOWE
Macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej nazywamy taką macierz , która spełnia równości
Macierz nazywamy wtedy macierzą odwracalną.
Tw. 1 Macierz A jest macierzą odwracalną wtedy i tylko wtedy, gdy Wówczas
,gdzie oznacza macierz dopełnień algebraicznych macierzy A.
Macierz kwadratową o wyznaczniku różnym od zera nazywamy macierzą nieosobliwą, a mającą wyznacznik równy zero – macierzą osobliwą.
Tw. 2 Jeżeli A i B są macierzami nieosobliwymi tego samego stopnia, to:

Z pomocą macierzy odwrotnej możemy rozwiązać układ równań Cramera:
Układ ten jest równoważny równaniu macierzowemu:
Jeżeli w równaniu tym macierz współczynników oznaczymy przez A, wektor niewiadomych przez X, a wektor wyrazów wolnych przez B, to równanie przyjmie postać
W równaniu tym macierz A jest nieosobliwa (bo jest to układ cramerowski). Mnożąc lewostronnie obie strony tego równania przez macierz , odwrotną do macierzy A, otrzymujemy kolejno
(rozwiązać)
Tak więc rozwiązaniem równania jest wektor X (łatwo zauważyć, że jest to macierz jednokolumnowa) równy iloczynowi macierzy odwrotnej do macierzy współczynników przez wektor wyrazów wolnych.
Opisana wyżej metoda pozwala na inną, często bardziej efektywną metodę szukania macierzy odwrotnej. Zauważmy, że macierz odwrotna do macierzy A jest rozwiązaniem X równania macierzowego
Przedstawmy macierze X i I w postaci blokowej z rozpisaniem na kolumny, macierz A z rozpisaniem na wiersze:

Wówczas równanie macierzowe jest równoważne z ciągiem rozpatrywanych wcześniej układów równań liniowych
UKŁADY NIERÓWNOŚCI LINIOWYCH
Układem m nierówności liniowych o n niewiadomych <= b:
gdzie współczynniki są danymi liczbami rzeczywistymi.
Do każdej lewej strony nierówności dodajemy pewną liczbę nieujemną tak, by każda z nierówności stała się równością. Otrzymujemy w ten sposób układ m równań o niewiadomych postaci: z1 =b
Macierz rozszerzoną układu (2) nazywamy macierzą uzupełnioną układu (1) i zapisujemy [A/Z/B]
Tw. 3 Stosując metodę eliminacji Gaussa do wierszy macierzy uzupełnionej (3) możemy tę macierz przekształcić do jednej z postaci bazowych
macierze jednostkowe utworzone z części (lub całej) macierzy A i z części dodanej macierzy odpowiadającej zmiennym ; macierz resztkową macierzy A, 0 oznacza macierz zerową, oznacza przekształconą za pomocą operacji elementarnych macierz
jednostkową zmiennych ; C oraz przekształconą kolumnę wyrazów wolnych.
Każdy układ z pierwszych dwóch postaci bazowych jest niesprzeczny. pozostałe postaci bazowych są niesprzeczne , gdy układ równań zmiennych o macierzy rozszerzonej posiada przynajmniej 1rozwiązanie bazowe nieujemne.
zmienne są nieujemnymi parametrami, w 2ostatnich przypadkach zmienności jest muszą one dodatkowo spełniać układ równań o macierzy rozszerzonej . Parametry, odpowiadające zmiennym , przybierają zawsze dowolne wartości R
WYKŁAD 13 FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
W przestrzeni wektorowej odległość między dwoma elementami oraz tej przestrzeni jako liczbę Otoczeniem punktu o promieniu r>0 nazywać będziemy zbiór wszystkich punktów takich że Analogicznie jak w przestrzeni R określamy sąsiedztwo punktu oraz punkt skupienia zbioru.
Niech A będzie pewnym podzbiorem przestrzeni . Jeżeli każdemu punktowi przyporządkujemy w sposób jednoznaczny pewną liczbęR, to mówimy, że na zbiorze A została określona funkcja f zmiennych i zapisujemy ją w postaci
Zbiór A nazywamy wówczas D funkcji f, zaś zbiór liczb z Zw funkcji f. Jeżeli funkcję f określamy wzorem, nie podając jej D, to uznajemy, że D jest zbiór wszystkich punktów , dla których wzór określający funkcję ma sens.
Warstwicą funkcji dwóch zmiennych, odpowiadającą wartości c nazywamy zbiór

Pochodną cząstkową pierwszego rzędu po zmiennej nazywamy granicę

Funkcję f nazywać będziemy różniczkowalną na zbiorze A, jeżeli posiada na tym zbiorze wszystkie pochodne cząstkowe , ciągłe na A.
Pochodną cząstkową drugiego rzędu funkcji f w punkcie P nazywamy każdą pochodną cząstkową pochodnej cząstkowej ,
Funkcję f nazywać będziemy funkcją dwukrotnie różniczkowalną na A, jeżeli posiada wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu , ciągłe na A.
Mówimy, że funkcja wielu zmiennych osiąga minimum lokalne (maksimum lokalne) w punkcie , jeżeli istnieje otoczenie U punktu , takie że  pkt spełniona jest nierówność
Tw.1 (warunek konieczny istnienia ekstremum) Jeżeli funkcja , określona w pewnym otoczeniu pkt i posiadająca w tym pkt wszystkie pochodne cząstkowe, osiąga w tym punkcie ekstremum lokalne, to wszystkie pochodne cząstkowe w tym punkcie są = 0, tzn.
Pkt P, dla którego są spełnione ostatnie równości nazywa się punktem stacjonarnym funkcji f.
Hesjanem dwukrotnie różniczkowalnej funkcji f nazywamy macierz utworzoną ze wszystkich pochodnych cząstkowych drugiego rzędu tej funkcji postaci:
Przy założeniu ciągłości pochodnych cząstkowych drugiego rzędu pochodne liczone względem tych samych zmiennych, ale w innej kolejności (tzw. pochodne mieszane) są równe
Jest to tzw. twierdzenie Schwarza. Otrzymujemy więc, że wówczas hesjan jest macierzą symetryczną.
Oznaczmy

Tw.2 (warunek dostateczny istnienia ekstremum) Niech pkt będzie pkt stacjonarnym funkcji , mającej ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu w pewnym otoczeniu tego punktu.
Jeżeli dla i=1,2,…,n spełnione są nierówności , to w pkt funkcja osiąga minimum lokalne.
Jeżeli dla i=1,2,…,n spełnione są nierówności , to w pkt funkcja osiąga maksimum lokalne.
Tw. 3 Załóżmy, że funkcja f ma w otoczeniu punktu ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego.
Jeżeli f osiąga w pkt to w punkcie minimum lokalne, to dla i=1,2,…,n spełnione są nierówności .
Jeżeli f osiąga w pkt to w punkcie maksimum lokalne, to dla i=1,2,…,n spełnione są nierówności
Jeżeli w pkt nie jest spełniony żaden z warunków 1 i 2, to funkcja f nie osiąga w punkcie ekstremum. Uwaga. W pkt, w których nie jest spełniony warunek dostateczny istnienia ekstremum, ale spełniony jest któryś z warunków 1 lub 2, należy zbadać istnienie ekstremum na innej drodze (np. korzystając z definicji ekstremum) W szczególności, jeżeli lub , to wynikają stąd twierdzenia:
Tw.4 ( ) Jeżeli funkcja , posiadająca ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu w otoczeniu punktu , spełnia następujące warunki:
, to funkcja f osiąga w punkcie minimum.
Jeżeli natomiast funkcja f spełnia warunki:
, to osiąga w punkcie maksimum.
Jeżeli , to funkcja f nie osiąga w punkcie ekstremum.
Tw.5 ( ) Jeżeli funkcja , posiadająca ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu w otoczeniu punktu , spełnia następujące warunki:
, to funkcja f osiąga w punkcie minimum.
Jeżeli f spełnia warunki:
, to osiąga w punkcie maksimum.
Jeżeli w szczególności , to funkcja f nie osiąga w punkcie ekstremum.
WYKŁAD 14 EKSTREMA WARUNKOWE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
Mówimy, że funkcja wielu zmiennych osiąga w pkt minimum lokalne warunkowe (maksimum lokalne warunkowe) przy warunku , jeżeli istnieje otoczenie U pkt , takie że  pkt i spełniającego warunek spełniona jest nierówność
Aby znaleźć takie ekstremum, budujemy funkcję (n+1)-zmiennych postaci
Funkcja L nazywa się funkcją Lagrange’a, a metodę szukania ekstremów warunkowych z użyciem tej funkcji – metodą mnożników Lagrange’a. Liczbę nazywamy mnożnikiem Lagrange’a.
Tw. (warunek konieczny istnienia ekstremum warunkowego) Załóżmy, że funkcja jest określona w pewnym otoczeniu punktu , i wraz z funkcją posiada w tym punkcie wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu. Jeżeli funkcja f osiąga w punkcie ekstremum lokalne przy warunku , to wszystkie pochodne cząstkowe funkcji Lagrange’a L w tym punkcie są równe 0, tzn.

Punkt , dla którego są spełnione ostatnie równości nazywa się punktem stacjonarnym funkcji L. Do warunku dostatecznego potrzebna jest macierz, zwana hesjanem funkcji Lagrange’a Oznaczmy
,

Uwaga. jest wyznacznikiem o wymiarach i jest funkcją zmiennych
Tw. (warunek dostateczny istnienia ekstremum warunkowego) Niech pkt będzie pkt stacjonarnym funkcji Lagrange’a, mającej ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu w pewnym otoczeniu tego pkt. Jeżeli dla i=2,3,…,n spełnione są nierówności , to w punkcie funkcja f osiąga minimum warunkowe przy warunku .
Jeżeli dla i=2,3…,n spełnione są nierówności , to w punkcie funkcja f osiąga maksimum warunkowe przy warunku .
hTw. (warunek dostateczny istnienia ekstremum warunkowego dla n=2) Załóżmy, że funkcje oraz mają w otoczeniu punktu ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego. Niech będzie punktem stacjonarnym funkcji Lagrange’a 1. Jeżeli , to funkcja f osiąga w pkt minimum lokalne przy warunku 2. Jeżeli , to funkcja f osiąga w pkt maksimum lokalne przy warunku
Tw. (warunek dostateczny istnienia ekstremum warunkowego dla n=3) Załóżmy, że funkcje oraz mają w otoczeniu pkt ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego. Niech będzie punktem stacjonarnym funkcji Lagrange’a
Jeżeli , to funkcja f osiąga w pkt minimum lokalne przy warunku
Jeżeli , to funkcja f osiąga w pkt maksimum lokalne przy warunku .
Można udowodnić, że funkcja ciągła , określona na domkniętym i ograniczonym podzbiorze A przestrzeni osiąga wartość najmniejszą i największą. Wartości te nazywają się ekstremami globalnymi funkcji f na zbiorze A. Poszukujemy ich podobnie, jak w przypadku funkcji jednej zmiennej
WYKŁAD 15 CAŁKI PODWÓJNE
Niech M i m będą kresami górnym i dolnym funkcji f w prostokącie P, a kresami górnym i dolnym tejże funkcji w prostokącie . W każdym prostokącie wybieramy dowolnie punkt i tworzymy trzy sumy:


Sumy te spełniają nierówności .
Niech oznacza długość największej przekątnej prostokątów (liczbę tę nazywamy średnicą tego podziału. Ciąg podziałów nazywamy normalnym, jeżeli przy .
Jeżeli ciąg sum , odpowiadający każdemu normalnemu ciągowi podziałów jest zawsze zbieżny, i to do tej samej granicy, bez względu na dobór punktów , to granicę tę nazywamy całką podwójną funkcji f w prostokącie P i oznaczamy symbolem
a funkcję f nazywamy całkowalną w prostokącie P w sensie Riemanna.
Granice sum nazywamy odpowiednio podwójną całką dolną i podwójną całką górną funkcji f w prostokącie P.
Tw.1 Całka podwójna istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy całka górna równa się całce dolnej.
Tw. 2 Każda funkcja ciągła w prostokącie domkniętym jest całkowalna.
Tw. 3 Jeżeli pkt nieciągłości funkcji ograniczonej na prostokącie P leżą na skończonej ilości krzywych postaci lub (funkcje te są obrazami ciągłymi pewnych odcinków), to funkcja f jest całkowalna na P. Wprost z definicji wynikają następujące własności:
= + (sumę dwóch całek można rozwalić na dwie całki)
= (stała przed całkę)
(można ją liczyć w dwóch przedziałach)
Jeżeli funkcja f jest nieujemna na prostokącie P, to objętość prostokąta o podstawie P, ograniczonego od góry wykresem funkcji f jest równa
CAŁKI ITEROWANE
Załóżmy, że  ustalonego istnieje całka pojedyncza . Jeżeli funkcja
jest całkowalna na przedziale , to całkę nazywamy całką iterowaną funkcji f w prostokącie P. Całkę tę zapisujemy również w postaci lub .
Analogicznie określamy drugą całkę iterowaną , inaczej .
Tw. 4 Jeżeli funkcja f jest ciągła w prostokącie P, to obie całki iterowane istnieją i są równe całce podwójnej = =
Określimy teraz całkę w dowolnym zbiorze ograniczonym D. Zbiór D zamykamy w pewnym prostokącie P, a następnie przyjmujemy .
Całkę funkcji f w zbiorze D oznaczamy symbolem i określamy wzorem .
Obszar płaski ograniczony D nazywamy obszarem normalnym względem osi 0x, jeżeli można go opisać nierównościami: i ,
gdzie są funkcjami ciągłymi na przedziale takimi, że dla . Podobnie określamy obszar normalny względem osi 0y
Tw. 5 Całkę funkcji f ograniczonej i ciągłej w obszarze normalnym określonym nierównościami i można zamienić na całkę iterowaną wg wzoru
Jeśli ten obszar jest określony nierównościami , (obszar normalny względem osi 0y), to