Udowodnij, że [latex] sqrt{7} [/latex] jest liczbą niewymierną.

Załóżmy, że [latex]sqrt{7}[/latex] jednak jest liczbą wymierną. Wtedy dałoby się go zapisać w postaci ułamka [latex]sqrt{7}=frac{p}{q}[/latex], w którym licznik i mianownik są liczbami całkowitymi. Wtedy: [latex]sqrt{7}=frac{p}{q}quadRightarrowquad7=frac{p^2}{q^2}quadRightarrowquad p^2=7q^2[/latex] W ostatniej równości liczba całkowita po lewej stronie ma w rozkładzie na czynniki pierwsze parzystą ilość siódemek, zaś ta po prawej ma nieparzystą liczbę siódemek - co jest oczywiście niemożliwe, tzn. przypuszczenie, że [latex]sqrt{7}[/latex] jest liczbą wymierną doprowadziło nas do ewidentnej bzdury (fachowo mówiąc, do sprzeczności). Wniosek: [latex]sqrt{7}[/latex] jest liczbą niewymierną. QED

Można jeszcze udowodnić w ten sposób, że przyjmujemy, że [latex]x=sqrt{7} qquad qquad /(...)^2 \ hbox{Wtedy:} \ x^2=7 \ x^2-7=0[/latex] Jak widać, [latex]sqrt{7}[/latex] jest pierwiastkiem równania [latex]x^2-7=0[/latex] Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych mówi, że jeżeli wielomian ma współczynniki całkowite, to ma jedyne pierwiastki wymierne, które są ilorazem wyrazu wolnego i współczynnika stojącej przy najwyższej potędze. Wykorzystując to twierdzenie i mając powyższą równość jedynymi wymiernymi "kandydatami" do równości może być liczba 7/1 = 7  oraz -7/1 = -7 Ładno sprawdzić, że te liczby nie spełniają tej równości, bo [latex](-7)^2-7=7^2-7=42 eq 0[/latex] Stąd równanie [latex]x^2-7=0[/latex]  nie posiada wymiernych pierwiastków, A skoro jednym z nich jest [latex]sqrt{7}[/latex] no to logiczne, żę musi być w takim razie niewymierny. 

Druga część z zadań na dowodzenie , proszę o rozwiązanie :) 1) Pokaż , że : a) [latex] sqrt{3} [/latex] jest liczbą niewymierną b) [latex] sqrt{5} + sqrt{6} [/latex] jest liczbą niewymierną c) [latex] sqrt[3]{2} + sqrt[3]{3} [/latex] jest liczbą nie

Druga część z zadań na dowodzenie , proszę o rozwiązanie :) 1) Pokaż , że : a) [latex] sqrt{3} [/latex] jest liczbą niewymierną b) [latex] sqrt{5} + sqrt{6} [/latex] jest liczbą niewymierną c) [latex] sqrt[3]{2} + sqrt[3]{3} [/late...

Udowodnij, że [latex] sqrt{2} + sqrt{3} + sqrt{5} [/latex] jest liczbą niewymierną

Udowodnij, że [latex] sqrt{2} + sqrt{3} + sqrt{5} [/latex] jest liczbą niewymierną...

Udowodnij, że [latex] sqrt{2} + sqrt{3} [/latex] jest liczbą niewymierną. Poprawne rozwiązanie zostanie nagrodzone .

Udowodnij, że [latex] sqrt{2} + sqrt{3} [/latex] jest liczbą niewymierną. Poprawne rozwiązanie zostanie nagrodzone ....

Udowodnij, że [latex]sqrt{2} + sqrt{3}[/latex] jest liczbą niewymierną.   Proszę o dokładne rozpisanie i wytłumaczenie. Błędne odpowiedzi zgłaszam

Udowodnij, że [latex]sqrt{2} + sqrt{3}[/latex] jest liczbą niewymierną.   Proszę o dokładne rozpisanie i wytłumaczenie. Błędne odpowiedzi zgłaszam...