a) rozpatrzmy wielomian [latex]W(x)=x^2-3[/latex] jedynymi możliwymi wymiernymi pierwiastkami mogą być [latex]{-1,1,-3,3}[/latex] (wynika to z tw o pierwiastkach wymiernych) ale łatwo sprawdzić że żaden z tych kandydatów nie jest miejscem zerowym [latex]W(x)[/latex] natomiast [latex]W( sqrt{3} )=0[/latex] wnioskiem jest że [latex] sqrt{3}
otinmathbb{Q} [/latex]
b) na razie nie robię bo jeśli zrobię d) to b) będzie na pewno będzie prawdziwe...
c) Załóżmy nie wprost że [latex]mathbb{Q}
i x= sqrt[3]{2} + sqrt[3]{3} [/latex] wtedy [latex]mathbb{Q}
i x^3=2+3 sqrt[3]{4}cdot sqrt[3]{3}+3sqrt[3]{2}cdot sqrt[3]{9}+3=2+3x sqrt[3]{6}+3[/latex] a z pierwszego założenia wiemy że
[latex]$mathbb{Q}
i frac{x^3-5}{3x}= sqrt[3]{6}$ [/latex]
No ale tak nie jest bo liczba [latex]$ sqrt[3]{6} $ [/latex] jest niewymierna by to pokazać wystarczy rozpatrzeć wielomian [latex]W(x)=x^3-6[/latex] który ma tylko jeden pierwiastek właśnie [latex]W( sqrt[3]{6} )[/latex] a nie znalazł się on w zbiorze kandydatów na możliwy pierwiastek wymierny [latex]{pm1,pm2pm3pm4}[/latex].
d) niech [latex]x= sqrt{n}+ sqrt{n+1} [/latex] wtedy [latex]x^2-2n-1=2 sqrt{n} sqrt{n+1} [/latex] a ponad to [latex](x^2-2n-1)^2-4n(n+1)=0[/latex] czyli rozpatrujemy wielomian [latex]W(x)=x^4-4nx^2-2x^2+1[/latex] którego jedynymi wymiernymi pierwiastkami mogą być [latex]-1 [/latex] i [latex]1 [/latex]. Ale nie są bo [latex]W(pm 1)=-4n[/latex] ponad to [latex]n geq 1[/latex] ale za to [latex]W( sqrt{n} + sqrt{n+1} )=0[/latex] wnioskiem jest że [latex] sqrt{n} + sqrt{n+1}
otinmathbb{Q}[/latex]
e) załóżmy nie wprost że suma liczby niewymiernej może być wymierna. Niech [latex]x
otinmathbb{Q}[/latex] wtedy sumując go z jakąż liczbą wymierną dostajemy wymierną więc
[latex]$x+ frac{a}{b}= frac{c}{d} $[/latex]
czyli
[latex]$x=frac{c}{d}-frac{a}{b}= frac{cb-ad}{bd}inmathbb{Q}$[/latex]
A to jest sprzeczne z założeniem więc suma musi być niewymienna.
