a) an = n² - n zatem an+1 = ( n+1)² -(n+1) = n² + 2n +1 - n -1 = n² + n czyli an+1 - an = (n² + n) - (n² - n) = 2n > 0 dla dowolnej liczby n ∈ N zatem dany ciąg jest rosnący. ------------------------------------------------------------------ b) an = n/( n +1) zatem an+1 = (n +1)/(n+1 +1) = (n +1)/(n +2) an+1 - an = (n+1)/(n +2) - n/(n+1) = [(n +1)² - n(n +2)]/[(n+1)(n +2)] = = 1/[(n +1)(n +2)] > 0 , bo mianownik jest > o dla dowolnej n ∈ N. A to oznacza , ze ciąg jest rosnący. ----------------------------------------------------------------------------------- c) an = (2n -2)/(2n +1) zatem an+1 = [2(n +1) -2]/[2(n +1) +1] = 2n/(2n +3) an+1 - an = 2n/(2n +3) - (2n -2)/(2n +1) = po obliczeniu 6/[(2n+3)(2n+1)] >0 bo mianownik > 0 dla dowolnej liczby n ∈ N, a to oznacza, ze ciag jest rosnący. -------------------------------------------------------------------------------------- d) an = (4n +1)/(3n + 1) zatem an+1 = [4(n+1) +1]/[3(n +1) + 1] = (4n + 5)/(3n + 4) czyli an+1 - an = (4n +5)/(3n +4) - (4n +1)/(3n +1) = po obliczeniach = 1/[(3n +4)(3n +1) > 0 , bo mianownik > 0 dla dowolnej liczby n ∈ N, a to oznacza, że dany ciag jesy rosnący. ===================================================
