Wykaż, że ciąg dany wzorem [latex] c_{n} = frac{-1}{ n^{2}+1} [/latex] jest rosnący

Ciąg [latex](c_n)_{n in mathbb{N}}[/latex] jest rosnący, gdy dla wszystkich [latex]n in mathbb{N}[/latex] prawdziwa jest nierówność [latex]c_{n+1}-c_n extgreater 0[/latex] Zauważmy, że: [latex]c_{n+1}=dfrac{-1}{1+(n+1)^2}=dfrac{-1}{n^2+2n+2}[/latex] Wobec tego: [latex]c_{n+1}-c_n=dfrac{-1}{n^2+2n+2}-dfrac{-1}{1+n^2}=dfrac{1}{1+n^2}-dfrac{1}{n^2+2n+2}=\ =dfrac{n^2+2n+2}{(1+n^2)(n^2+2n+2)}-dfrac{1+n^2}{(1+n^2)(n^2+2n+2)}=\ =dfrac{n^2+2n+2-1-n^2}{(1+n^2)(n^2+2n+2)}=dfrac{2n+1}{(1+n^2)(n^2+2n+2)}[/latex] Skoro [latex]n in mathbb{N}[/latex] to w szczególności [latex]n extgreater 0.[/latex] Tym bardziej [latex]2n+1 extgreater 0,n^2+1 extgreater 0, n^2+2n+2 extgreater 0[/latex] wobec tego zarówno licznik jak i mianownik otrzymanego ułamka są dodatnie, zatem cały ułamek jest dodatni. W związku z czym: [latex]c_{n+1}-c_n extgreater 0[/latex] co pokazuje, że rozważany ciąg jest rosnący a to należało wykazać.