Zbadaj monotoniczność ciągu: [latex]a_{n} = frac{2^n}{n+1}[/latex] [latex]a_{n+1} = frac{2^{n+1}}{n+2}[/latex] [latex]a_{n+1} - a_{n}= frac{2^{n+1}}{n+2}- frac{2^n}{n+1}=frac{(2^{n+1})(n+1)-[2^n(n+2)]}{(n+2)(n+1)} = frac{n2^{n+1}+2^{n+1}-n2^n-2^{n+1}}

No dobrze. Teraz trzeba zobaczyć czy to co jest na końcu jest dodatnie, ujemne czy stałe. akurat jest dodatnie  bo 2^(2+1) jest dodatnie n-1 też (może być 0 dla n=1, ale w sumie to nie przeszkadza ) n+2 też n+1 też Cały ten ułamek jest dodatnie co oznacza że an+1 jest zawsze większe od an. (wyraz następny jest większy od poprzedniego niezależnie od tego jakie n wstawimy). Dlatego wiemy że ten ciąg jest rosnący. 

Można inaczej. Ciąg jest rosnący jeśli [latex]a_{n+1} extgreater a_n[/latex] czyli [latex]$ frac{a_{n+1}}{a_n} extgreater 1$[/latex] Podstawiamy :  [latex]$ frac{a_{n+1}}{a_n} =frac{2^{n+1}}{n+2} cdot frac{n+1}{2^n}=2 frac{n+1}{n+2}=2- frac{2}{n+2} extgreater 1$[/latex] Co jest już oczywiste bo  [latex]$minleft{2- frac{2}{n+2} : ninmathbb{N} ight}= frac{4}{3} extgreater 1$[/latex]

Zbadaj monotoniczność ciągu [latex]a_{n} = frac{-5}{ sqrt{2n-1} } [/latex]

Zbadaj monotoniczność ciągu [latex]a_{n} = frac{-5}{ sqrt{2n-1} } [/latex]...

Zbadaj monotoniczność ciągu: [latex] a_{n} = frac{1-3n}{n+2} [/latex]

Zbadaj monotoniczność ciągu: [latex] a_{n} = frac{1-3n}{n+2} [/latex]...

Zbadaj monotoniczność ciągu [latex] a_{n} = frac{5n-1}{n+3} [/latex] Proszę o obliczenia i wyjaśnienie :D

Zbadaj monotoniczność ciągu [latex] a_{n} = frac{5n-1}{n+3} [/latex] Proszę o obliczenia i wyjaśnienie :D...

Zbadaj monotoniczność ciągu [latex] a_{n} = frac{2n-1}{2n+1} [/latex], gdzie n∈N+.

Zbadaj monotoniczność ciągu [latex] a_{n} = frac{2n-1}{2n+1} [/latex], gdzie n∈N+....

zbadaj monotoniczność ciągu: [latex]an=2- frac{2n+3}{n+1} [/latex]

zbadaj monotoniczność ciągu: [latex]an=2- frac{2n+3}{n+1} [/latex]...