Model ARIMA

MODEL DLA KENII - EKSPORT
1. ESTYMACJA
1.1 Hipoteza:
ekspo t = α 0 + α 1*ekspo t-1 + α2*time t + α3*impor t + α4*impor t-1 + α5*wydat t + α6*wydat t-1 + α7*inwes t + α8*inwes t-1 + α9*konsu t + α10*konsu t-1 + ξt

Przyjęty poziom istotności: 5%

1.2 Wykres przebiegu modelowanych szeregów czasowych:



1.3 Tabela pierwszej estymacji:

Model 1: Estymacja KMNK z wykorzystaniem 45 obserwacji 1951-1995
Zmienna zależna: ekspo

Zmienna Współczynnik Błąd stand. Statystyka t p-value

0) const 257,522 945,610 0,272 0,787012
14) ekspo_1 0,772942 0,112418 6,876 < 0,00001 ***
7) time 71,3569 25,5786 2,790 0,008584 ***
10) impor 0,528835 0,136814 3,865 0,000475 ***
15) impor_1 -0,289186 0,147993 -1,954 0,058961 *
11) wydat -1,14531 0,592109 -1,934 0,061436 *
16) wydat_1 0,321634 0,625087 0,515 0,610201
12) inwes -0,215694 0,121175 -1,780 0,084012 *
17) inwes_1 0,226086 0,123007 1,838 0,074815 *
13) konsu -0,303518 0,0914618 -3,319 0,002165 ***
18) konsu_1 0,213648 0,102695 2,080 0,045094 **


Srednia arytmetyczna zmiennej zależnej = 5278,04
Odchylenie standardowe zmiennej zależnej = 1189,85
Suma kwadratów reszt = 5,19771e+006
Błąd standardowy reszt = 390,991
Nieskorygowany R-kwadrat = 0,916559
Skorygowany R-kwadrat = 0,892018
Statystyka F (10, 34) = 37,3475 (p-value < 0,00001)
Statystyka testu Durbina-Watsona = 2,51334
Autokorelacja reszt rzędu pierwszego = -0,302526
Statystyka testu Durbina h = -3,0118
(h stat dla zmiennej 14, z T' = 44)
Kryterium informacyjne Akaika (AIC) = 674,272
Kryterium bayesowskie Schwarza (BIC) = 694,146

Wyłączając stałą, największy błąd p-value jest dla zmiennej 16 (wydat_1)

1.3 a) Test PACF


Funkcja autokorelacji cząstkowej (PACF):

1) -0,2853 2) -0,1040 3) 0,0953 4) 0,0606 5) 0,0565
6) 0,0053 7) -0,0843 8) 0,0859 9) -0,2325

5% wartość krytyczna: 1,96/T^0,5 = 0,29218
W resztach nie występuje autokorelacja.

Nowa Hipoteza:
ekspo t = α 0 + α 1*ekspo t-1 + α2*time t + α3*impor t + α4*wydat t + α5*konsu t + ξt

1.4 Tabela ostatecznej estymacji
Model 10: Estymacja KMNK z wykorzystaniem 45 obserwacji 1951-1995
Zmienna zależna: ekspo

Zmienna Współczynnik Błąd stand. Statystyka t p-value
0) const 1307,46 726,020 1,801 0,079461 *
14) ekspo_1 0,681292 0,0761009 8,952 < 0,00001 ***
7) time 92,3834 19,6994 4,690 0,000033 ***
10) impor 0,275530 0,0689895 3,994 0,000279 ***
11) wydat -0,960868 0,298830 -3,215 0,002618 ***
13) konsu -0,183914 0,0676694 -2,718 0,009752 ***


Srednia arytmetyczna zmiennej zależnej = 5278,04
Odchylenie standardowe zmiennej zależnej = 1189,85
Suma kwadratów reszt = 6,041e+006
Błąd standardowy reszt = 393,57
Nieskorygowany R-kwadrat = 0,903022
Skorygowany R-kwadrat = 0,890589
Statystyka F (5, 39) = 72,6303 (p value < 0,00001-)
Statystyka testu Durbina-Watsona = 2,33703
Autokorelacja reszt rzędu pierwszego = -0,220671
Statystyka testu Durbina h = -1,69567
(h stat dla zmiennej 14, z T' = 44)
Kryterium informacyjne Akaika (AIC) = 671,038
Kryterium bayesowskie Schwarza (BIC) = 681,878

Test Jarque'a-Bera na normalność rozkładu reszt -
Hipoteza zerowa: składnik losowy ma rozkład normalny
Statystyka testu: Chi-kwadrat(2) = 0,443833
z p-value = 0,800982

Test White'a na heteroskedastyczność wariancji -
Hipoteza zerowa: heteroskedastyczność wariancji nie występuje
Statystyka testu: TR^2 = 26,6079
z p-value = P(Chi-Square(20) > 26,6079) = 0,146661

Test na nieliniowość (kwadraty) -
Hipoteza zerowa: zależność jest liniowa
Statystyka testu: TR^2 = 20,9201
z p-value = P(Chi-Square(5) > 20,9201) = 0,000838697

Test na nieliniowość (logarytmy) -
Hipoteza zerowa: zależność jest liniowa
Statystyka testu: TR^2 = 21,7999
z p-value = P(Chi-Square(5) > 21,7999) = 0,00057149

Test RESET na specyfikację -
Hipoteza zerowa: specyfikacja poprawna
Statystyka testu: F(2, 37) = 8,17672
z p-value = P(F(2, 37) > 8,17672) = 0,00114611

Test CUSUM na stabilność parametrów modelu -
Hipoteza zerowa: brak zmian w parametrach
Statystyka testu: Harvey-Collier t(38) = -2,65186
z p-value = P(t(38) > -2,65186) = 0,0116126


1.5 Wykres empirycznych i wyrównanych wartości

2. WERYFIKACJA
2.1 Istotność parametrów:
Zmienna 1 ekspot-1
H0: α1=0
H1: α1≠0
p = < 0,00001 < 0,05
Z empirycznym poziomem istotności wynoszącym p = < 0,00001 odrzucamy H0 na korzyść H1. Zmienna jest istotna.
Zmienna timet
H0: α2=0
H1: α2≠0
p = 0,000033 < 0,05
Z empirycznym poziomem istotności wynoszącym p = 0,000033 odrzucamy H0 na korzyść H1. Zmienna jest istotna.
Zmienna import
H0: α3=0
H1: α3≠0
p = 0,000475 < 0,05
Z empirycznym poziomem istotności wynoszącym p = 0,000475 odrzucamy H0 na korzyść H1. Zmienna jest istotna.
Zmienna wydatt
H0: α4=0
H1: α4≠0
p = 0,002618 < 0,05
Z empirycznym poziomem istotności wynoszącym p = 0,002618 odrzucamy H0 na korzyść H1. Zmienna jest istotna.
Zmienna konsut
H0: α5=0
H1: α5≠0
p = 0,009752 < 0,05
Z empirycznym poziomem istotności wynoszącym p = 0,009752 odrzucamy H0 na korzyść H1. Zmienna jest istotna.



2.2 Wyznaczenie Ve

Decyzja: Model nie nadaje się do praktycznego wykorzystania.

2.3 Weryfikacja istotności współczynnika determinacji:
H0: R2=0
H1: R2>0
wartość p < 0,00001 – statystyka F < 0,05
Z empirycznym poziomem istotności p < 0,00001 odrzucamy H0 na korzyść H1. Współczynnik determinacji jest istotny

2.4 Weryfikacja losowości procesu resztowego:

a) Test Durbin’a-Watson’a
H0: ρ1=0
H1: ρ1>0
Wartość statystyki testu d*=4-2,33703 = 1,66297; wartości krytyczne dl=1,29 du=1,78. Decyzja: Ponieważ dl < d*< du test DW nie rozstrzyga o występowaniu autokorelacji rzędu pierwszego.

b) test na podstawie wartości PACF



Funkcja autokorelacji cząstkowej (PACF):

1) -0,2047 2) -0,0829 3) 0,1010 4) 0,0149 5) 0,0219
6) -0,0776 7) -0,1006 8) 0,0114 9) -0,2786

5% wartość krytyczna: 1,96/T^0,5 = 0,29218

Na podstawie PACF można stwierdzić, że wszystkie wartości są nie istotne, żadna z nich nie przekroczyła wartości krytycznej. Proces ma własności białego szumu. Brak autokorelacji.

2.5 Weryfikacja normalności rozkładu reszt
H0: F(x)=G(x)
H1: F(x)≠G(x)
Wartość p = 0,800982 > 0,05
Z empirycznym poziomem istotności p = 0,800982 niema podstaw do odrzucenia H0. Rozkład reszt posiada cechy rozkładu normalnego.

2.6 Test na heteroskedastyczność
H0: wariancja jednorodna
H1: wariancja niejednorodna
Wartość p = 0,146661 > 0,05
Z empirycznym poziomem istotności p = 0,146661 niema podstaw do odrzucenia H0. Wariancja jest jednorodna.

2.7 Weryfikacja liniowości związku
a) Test nieliniowości – kwadraty
H0: zależność jest liniowa
H1: zależność nie jest liniowa
Wartość p = 0,000838697 < 0,05
Z empirycznym poziomem istotności p = 0,000838697 odrzucamy H0 na korzyść H1. Zależność nie jest liniowa.

b) Test nieliniowości – logarytmy
H0: zależność jest liniowa
H1: zależność nie jest liniowa
Wartość p = 0,00057149 < 0,05
Z empirycznym poziomem istotności p = 0,00057149 odrzucamy H0 na korzyść H1. Zależność nie jest liniowa.

c) Test RESET na specyfikację -
H0: specyfikacja poprawna
H1: specyfikacja niepoprawna
Wartość p = 0,00114611 < 0,05
Z empirycznym poziomem istotności p = 0,00114611 odrzucamy H0 na korzyść H1. Specyfikacja jest niepoprawna.

2.8 Testowanie stabilności parametrów modelu -
H0: brak zmian w parametrach
H1: parametry niestabilne
Wartość p = 0,0116126 < 0,05
Z empirycznym poziomem istotności p = 0,0116126 odrzucamy H0 na korzyść H1. Parametry są niestabilne.



2.9 Zapis równania
^
ekspot = 1307,46 + 0,681292*ekspo t-1 + 92,3834*time t + 0,275530*impor t - 0,960868*wydat t
(726,020) (0,0761009) (19,6994) (0,0689895) (0,298830)
-0,183914*konsu t
(0,0676694)


3. INTERPRETACJA

 Parametry strukturalne:
- Wzrost eksportu o jednostkę w okresie t-1 spowoduje wzrost eksportu przeciętnie o 0,681292 j, przy pozostałych czynnikach niezmienionych.

- Eksport charakteryzuje się corocznie przeciętnym wzrostem o 92,3834 jednostek, przy pozostałych czynnikach niezmienionych.

- Wzrost importu o jednostkę spowoduje wzrost eksportu przeciętnie o 0,275530j, przy pozostałych czynnikach niezmienionych.

- Wzrost wydatków rządowych o jednostkę spowoduje spadek eksportu przeciętnie o 0,960868j, przy pozostałych czynnikach niezmienionych.

- Wzrost wydatków konsumpcyjnych o jednostkę spowoduje spadek eksportu przeciętnie o 0,183914j, przy pozostałych czynnikach niezmienionych.

 R2 = 0,903022
Czynniki modelu determinują zmienność zmiennej objaśnianej w 90%.

 Se – wartości empiryczne zmiennej objaśnianej różnią się przeciętnie od ich wartości teoretycznych o 393,57.

 Ve = 7,46% > 5% Model nie nadaje się do praktycznego wykorzystania.

4. PROGNOZA

4.1 Dla 95% przedziału ufności, t(39, .025) = 2,023
Obs ekspo prognoza błąd ex ante 95% przedział ufności
1996 6160,877710 6318,368636 393,570146 5522,297875 - 7114,439397
1997 5247,512748 6308,494938 476,229501 5345,229850 - 7271,760025
1998 4858,212073 6307,236525 510,064924 5275,532835 - 7338,940215
1999 5344,540386 6435,353518 525,029525 5373,381065 - 7497,325970
2000 5672,936329 6716,754597 531,832420 5641,021990 - 7792,487205

4.2 Błędy ex post
δ1996= 6160,877710 - 6318,368636 = -157,490926
δ1997= 5247,512748 - 6308,494938 = -1060,98219
δ1998= 4858,212073 - 6307,236525 = -1449,024452
δ1999= 5344,540386 - 6435,353518 = -1090,813132
δ2000= 5672,936329 - 6716,754597 = -1043,818268

4.3 Błędy względne
- ex ante
1996 6,23%
1997 7,55%
1998 8,09%
1999 8,16%
2000 7,92%

Prognoza niedopuszczalna, wszystkie błędy ex ante większe od 5%.

- ex post

W okresie 1996 prognoza trafiona – błąd do pięciu punktów procentowych, na pozostałe okresy prognoza nietrafiona, błędy ex post powyżej 5%.