Logika - ściąga

1. Różnica zbiorów: BA, warunek
2. a) Wymieniamy wszystkie jego elementy zapisując je w nawiasach klamrowych oddzielonych przecinkami np.: A={a,b,c,d}, b)Poprzez podanie warunku jaki spełniają elementy tego zbioru i tylko one: np.:
c) Przez podanie metody obliczania kolejnych elementów (podając przepis wg którego obliczamy jego elementy-algorytm)
3. A=B <=> x (x € A<=> x € B )
4.b
5. Mówimy ,że zbiór A jest zawarty w zbiorze B albo zbiór B zawiera zbiór A co oznacza A € B wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru A jest równocześnie elementem zbioru B A c B <=> x (x € A<=> x € B )
6.
7. rysunek: gdzie zbiór A i B maja część wspólną –nie SA rozłaczne
8. Własności relacji inkluzji: a) zwrotna (zwrotność) A c B, b) Antysymetria A c B ^ B c A => A=B, c) Przechodniość: A c B ^ B c C => A c C
9. Zbiorem pustym nazywamy zbiór {x:x=x^x≠x} (nie zawierający żadnego elementu), Zbiór pusty Ø jest podzbiorem każdego zbioru: Ø c Adla każdego zbioru A
10. rodzina wszystkich podzbiorow danego zbioru to ciało zbiorów
11. jest to iloczyn 2 zbiorów A i B


12. 13. 14 Różnica symetryczna zbiorów: x € A—B (kreska z kropka na górze)wtedy i tylko wtedy, gdy x € AB lub x € BA. Można łatwo udowodnić, że A -B(kreaska z kropka na górze) = (A u B)(B n A).
Iloczyn kartezjański A x B zbiorów A i B to zbiór, którego elementami są
wszystkie pary uporządkowane (a,b), gdzie o € A, b € B i tylko one. Możemy
zapisać w skrócie A x B = {(a,b) : a € A i b € B} lub A x B ={x : istnieją elementy a € A i b € B takie, że x = (a, b)}. Parą uporządkowaną nazywamy zbiór {{a},{a, b}}; mający następującą własność: (a, b) = (c, d) <=> (a = c) ^ (b = d).
Para nieuporządkowana: {a , b}= {b, a}
15. antysymetryczne w X tj. takie, że: Λ x € X Λ y € X € R ^ € R ,=> x=y
16. zwrotne w X tj. takie, że: Λ x € X € R np: (binarna wiec dwie liczby n=2)liczba 1 jest w relacji ze sama sobą i 2 jest w relacji ze sama sobą!
17. € RS  € R ^ € S | x(R n S)y <=> x R y ^ x S y
18. Relacja R jest relacja równoważności gdy relacja R € X2 jest zwrotna, symetryczna i przechodnia.
19. ZASADA ABSTRAKCJI Każda relacja równoważności R w niepustym zbiorze X ustala podział zbioru X na rozłączne i niepuste podzbiory (mianowicie na klasy abstrakcji) w taki sposób, że dwa elementu x , y zbioru X należą do tego samego podzbioru wtedy i tylko wtedy x R y. Przykład: W zbiorze wszystkich samochodów wprowadzamy relację: dwa samochody są równoważne, gdy są przystosowane do przewożenia tej samej liczby pasażerów. Jest to relacja równoważnści - klasą abstrakcji danego samochodu przystosowane do przewożenia 4 pasażerów jest zbiór wszystkich samochodów przystosowanych do przewożenia 4 pasażerów.
20. Zdanie w sensie logicznym - to takie spośród zdań oznajmujących (w sensie gramatycznym), które posiada treść na tyle określoną, że jest prawdziwe bądź fałszywe. Nie każde zdanie gramatycznie poprawne jest zdaniem w rozumieniu logiki. przykład: Warszawa jest stolicą Polski
21. Klasyczna zasada dwuwartościowości sądów: Każde zdanie jest bądź prawdziwe bądź fałszywe. Prawda i fałsz nazywamy wartościami logicznymi. W logice klasycznej istnieją dwie wartości logiczne(prawda=1 , fałsz =0)
22. c
23. Tautologia rachunku zdań to taka formuła tego rachunku, która jest prawdziwa przy wszystkich możliwych wartościowaniach występujących w niej zmiennych zdaniowych.(Formuła A jest tautologią rachunku zdań <=> gdy przy każdym wartościowaniu wartośc funkcji α=1. α (A, )=1
24. Metody badania tautologii: 1)metoda zero-jedynkowa ("tablicowa", "tabelkowa"), metoda skróconego sprawdzenia zera-jedynkowego ("nie wprost"), sprowadzenie formuły do postaci normalnej, zbudowanie dowodu formalnego w odpowiednim systemie aksjomatycznym
25. p <=> q wtedy gdy (p=1 ^ q=1 ) v (p=0 ^ q=0)