Oblicz granicę i monotoniczność ciągu: a_{n} = frac{(n+1)! - n!}{(n+1)! + n!} .

Liczymy granicę [latex]a_{n} = frac{(n+1)! - n!}{(n+1)! + n!} ewline lim_{n o infty} frac{(n+1)! - n!}{(n+1)! + n!}= lim_{n o infty} frac{n!((n+1)-1)}{n!((n+1)+1)} = lim_{n o infty} frac{n}{n+2}=1 [/latex] Korzystam z definicji monotoniczności ciągu. [latex] a_{n+1} - a_{n}= frac{(n+2)! - (n+1)!}{(n+2)! + (n+1)!} -frac{(n+1)! - n!}{(n+1)! + n!} = frac{(n+1)!(n+2-1)}{(n+1)!(n+2+1)} - frac{n!(n+1-1)}{n!(n+1+1)}= [/latex] [latex]frac{n+1}{n+3}- frac{n}{n+2}= frac{(n+1)(n+2)-n(n+3)}{(n+3)(n+2)} = frac{n^2+3n-2-n^2-3n}{n^2+5n+6}= frac{-2}{n^2+5n+6} = ewline - frac{2}{n^2+5n+6} extless 0 [/latex] Zatem ciąg jest malejący

1. Zbadaj monotoniczność ciągu: a)[latex]a_n= frac{(n!)^3}{(3n)!}[/latex] b) [latex]a_n = frac{1}{n+1} + frac{1}{n+2} + frac{1}{n+3} + .... + frac{1}{2n}[/latex] 2. Oblicz granicę funkcji: a) [latex]lim frac{x^2-16}{x-4}[/latex] x dąży do 4

1. Zbadaj monotoniczność ciągu: a)[latex]a_n= frac{(n!)^3}{(3n)!}[/latex] b) [latex]a_n = frac{1}{n+1} + frac{1}{n+2} + frac{1}{n+3} + .... + frac{1}{2n}[/latex] 2. Oblicz granicę funkcji: a) [latex]lim frac{x^2-16}{x-4}[/latex] x dąż...