Analiza matematyczna
1.CAŁKI WŁAŚCIWE ZALEŻNE OD PARAM.
Niech f będzie jakąś funkcją o wartościach rzeczywistych, określoną w prostokącie P=
TW O CIĄGŁOŚCI(c.w.zal od par)
Jeżeli f jest funkcją ciągłą w prostokącie P=
TW O POCHODNEJ(c.w.zal od par)
Niech f będzie funkcją ciągłą w prostokącie P=
TW O ZAMIANIE KOLEJNOŚCI CAŁKOWANIA
Niech funkcja f będzie ciągła prostokącie P=
TW O CIĄGŁ CAŁ WŁAŚ ZALEŻ OD PARA O ZMIENNYCH GRANICACH CAŁKOWANIA
Niech funkcja f będzie ciągła prostokącie P i niech , będą funkcjami ciągłymi w przedziale
2.CAŁKI NIEWŁAŚCIE ZALEŻNE OD PARAMETRU
są to całki postaci , w której całka po prawej stronie jest niewłaściwa.
TW CAUCHY’EGO O CAŁKACH NIEWŁ JEDNOS ZBIEŻN
Niech funkcja f będzie ciągła prostokącie nieskończonym P=
KRYTERI WEIESTRASSA JEDNOSTAJNEJ ZBIEŻNOŚCI CAŁEK NIEWŁ
Niech funkcja f będzie ciągła prostokącie nieskończonym P=
2.całka jest zbieżna, to całka jest jednostajnie zbieżna(bezwzględnie zbieżna)na
TW O CIĄGŁ CAŁ NIEWŁ ZALEŻNEJ OD PARAM
Niech funkcja f będzie ciągła prostokącie P=
TW O POCHOD CAŁ NIEWŁ ZALEZNEJ OD PARAM
Niech funkcja f będzie ciągła w prost-e P=
CAŁKA DIRICHLETA
c.n.z.od p: (1) , (2) dla
??????
3. FUNKE EULERA
DEF. Całki niewłaściwe zależne od parametru ,x>0,y>0 i , x>0 naz I i IIrodzaju-beta i gamma.
Funkcje gamma i beta związane są następujacą równością dla x,y>0, dla x>0
TW O FUN GAMMA EULERA (uogólnienie silni)
a)funkcja (x)=… jest ciągła dla x>0
b)całka jest jednostajnie zbieżna w przedz
c) dla każ x>0
d) dla n=0,1,2…
wykres gamma
TW O FUN BETA EULERA
a)całka jest jednostajnie zbieżna w każdy kwadracie
4. POWIER-NIE GŁADKIE W
DEF Niech X i Y będą przestrzeniami metrycznymi, odwzorowanie f:X Y naz homeomorfizmem jeśli jest ono ciągłą bijekcją i funkcja odwrotna jest ciągła.
ROZMAITOŚC WYMIARU k
R.W.k(powierzchnią o wym k)w przestrzeni naz podzbiór S tej przestrzeni którego każdy punkt ma w S otoczenie homoemorficzne z k-wymiarowym przedziałem (1.1) : j=1,2,k}
MAPA LOKALNA
Odwzorowanie będące homeomorfizmem, o który mowa w (1.1)naz mapą lokalną lub m.powierzchni S. -zbiór parametrów U-obszar działania mapy na pow S.Mapa to uporządkowana trójka ( , ,U)
MAPA STANDARDOWA
Jeżeli zbiór parametrów mapy jest przedziałem : ,j=1,2.k} to naz m.stand.
PŁAT POWIERZCHNIOWY
Powierzchnię którą można opisać za pomocą jednej mapy naz powierz elementarną lub p.p.
Np.powie sfery nie jest p.p.
ATLAS
Zbiór A(S)map lokalnych powierzchni S których obszary działania pokrywają całą powierzchnię,tzn, naz atlasem tej pow. Każda pow ma atlas złoż z conajmn przeliczalnie wielu map. Suma dwuch atla jest atl.
ODWZOROWANIE GŁADKIE
Przekształcenia klasy (p=1,2,.. )naz o.g. Rzędem odw-nia gła-o w punkc x naz rządJacobiego w tym punkcie.
POWIERZCHNIA GŁADKA
Pow-ą o wymiarze k w przest naz się powie gładką klasy (p=0.1,.. ) jeżeli posiada ona atlas którego lokalne mapy są odwzorowaniami klasy i w każdym punkcie swojej dziedziny mają rząd równyk.
TW,KTÓRE MÓWI KIEDY PODZB S PRZESTRZENI JEST k-WYMIAROWĄ POWIERZCHNIĄ KLASY
Na to aby -II- potrzeba i wystarcza aby dla każdego punktu istniało otoczenie V tego punktu oraz aby istniał układ n-k funkcji klasy spełniający warunki:
1.rząd macierzy Jacobiego przekształcenia jest równy n-k dla każdego punktu
2. = (jest jednorodny)
PRZEST STYCZNA
Jeżeli k-wymiarowa przestń w otoczeniu punktu jest określona parametrycznie za pomocą mapy lokalnej przy czym , to k-wymiarowa płaszczyzna w o równaniu naz pła.stycz. lub przestrzenią styczną do powierzchni S w punke . Oznaczy to .
5.POLE POWIERZCHNI
ZOIENTOWANA OBJĘTOŚĆ RÓWNOLEGŁOŚCIANU
Wyznacznik (1.2) jest równy tzw objętości zori-ej równoleg-u rozpiętego na wektorach . Jeżeli to określona za pomocą wzoru(1.2) wielkość jest dodatnia lub ujemna w zależności od tego czy bazy i należą do tej samej klasy orientacji przestrzeni czy do klas przeciwnych.
Ponieważ , jest macierzą GRAMA wektorów tzn gdzie <.,.>-iloczyn skalarny, zatem
stąd wzór na objętość równoległościanu
Polem pow (lubk-wymią objętością) danej w postaci parametrycznej gładkiej k-wymi-ej powierzi S leżącej w przestrzeni Eukli-wej naz się wielkość (1.3) .
Jeżeli k-wym-ą powirz-ę S rozetniemy na skończoną liczbę powierz-i gładkich to będzie temu odpowiadać podział obszaru D na odpow-jące powierzchniom obszary . Z addytywności całki wynika addść pola powierzni
k=1
Wzór(1.3) w szczególnych przypadkach.
Dla k=1 obszar jest przedziałem o końcach a,b (a
Jeżeli k=n to powierzchnia S jest dyfeomorfizmem z n-wymiarowym obszarem D. W tym przypadku macierz Jacobiego odwzorowanie jest kwadratowa i mamy .
Stosując twierdzenie o zamianie zmiennych w całce otrzymujemy Zatem n-wymiarowa objętość jest równa n-wym-ej mierze Lebesguea obszaru S.
k=2, n=3
Niech k=2, n=3 oraz będzie parametryzacją powierzchni S. Wówczas (1.4) . Tradycyjnie używa się oznaczeń
Liczby E,F,G noszą nazwę współczynników Gaussa powierzchni S. Przy tych oznaczeniach wzór(1.4) to . Jeżeli u=x, v=y,powierzchnia S jest wykresem gładkiej funkcji o wartościach rzeczywistych , określonej w obszarze D to otrzym wzór
6. ORIENTACJA POWIERZCHNI
Przejście z jednej bazy przestrzeni do drugiej bazy jest opisane za pomocą macierzy kwadr powstałej z rozwinięcia (k=1,2,.,n)
Wyznacznik tej macierzy jest zawsze różny od zera. Mówimy że dwie bazy przestrzeni są równoważne jeżeli wyznacznik macierzy przejścia od jednej do drugiej jest dodatni.
Ta relacja baz jest rel równoważności. Rozbija ona zbiór wszystkich baz tej przestrzeni na dwie klasy abstrakcji. Naz je klasami orientacji danej przestrzeni .
Określenie orientacji przestrzeni oznacza wybór jednej z klas orientacji.
7. ATLAS ORIENTUJĄCY I NIERÓWNOŚĆ ATLASÓW
Dwie mapy lokalne gładkiej powierzchni naz zgodnymi jeśli albo obszary ich działania są rozłączne albo ten przekrój jest niepusty i funkcje przejścia mają dodatni jacobian.
Atlas powierzchni gładkiej naz się atlasem orientującym jeśli składa się on z parami zgodnych map. Powierz-ia naz się pow orientowaną jeśli ma atlas orientujący, inaczej naz nieorientowalną (np. wstęga Móbiussa)
Obszar przest i pow elementarna są orientowane.
W zbiorze atlasów orientujących powierzchni wprowadzę relację równoważności:dwa atlasy orientujące nazwę równoważnymi jeśli ich suma jest też atlasem orientującym.
8. ORIENTACJA POWIERZCHNI
Klasa abstrakcji atlasów orientujących względem określonej wyżej relacji równoważności naz się orientacją powierzchni. Powierzchnią zorientowaną naz powierzchnią z ustaloną na niej orientacją.
Na orientowanej spójnej powierzchni istnieją dokładnie dwie orientacje.
9. POWIERZCHNIE DWUSTRONNE I JEDNOSTRONNE
…
10. POWIERZCHNIE Z BRZEGIEM
Niech będzie powierzchnią euklidesową o wymiarze k ze współrzędnymi kartezjańskimi . Rozważmy w przest półprzestrzeń . Hiperpłaszczyznę będziemy naz brzegiem półprzestrzeni .
Brzeg jest homeo-ny z przest natomiast wnętrze półprzestrzeni jest Homerom-ne na .
DEF Zbiór naz k-wymiarową powierzchnią z brzegiem jeżeli dowolny punkt ma otoczenie U w S homeomorficzne lub z lub z . Punkty które są obrazami punktów poprzez te homeomorfizmy naz punktami brzegowymi powierzchni S. Zbiór punktów brzegowych naz brzegiem powierzchni i ozn .
Brzeg gładkiej orientowanej pow-ni S jest też gładką pow orientowaną.
ZGODNOŚĆ ORIENTACJI
Jeśli atlas orientujący powierzchni S z brzegiem ma postać to atlas wyznacza na brzegu orientację zgodną z orie-ją pow-ni S.
11. INDUKCYJNA DEF POWIERZCHNI KAWAŁKAMI GŁADKIEJ
Punkt będziemy naz zerowymiarową pow-nią o dowolnej gładkości. Kawałkami gładką jednowymiarową powierznią o dowolnej gładkości(kawałkami gładką krzywą)naz taką krzywą w która po usunięciu z niej skończonej lub przeliczalnej liczby pewnych zerowymiarowych powierzchni rozpada się na gładkie powierzchnie jednowym-e.
Pow-ę o wymiarze k naz pow-ią kawał-i gł-ą jeśli można z niej usunąć skończoną lub przeliczalną liczbę kawałkami gładkich powierzchni o wym-ach niewiększych niż k-1, tak aby reszta rozpadła się na gładkie k-wym-e powierzhnie (z brzegiem lub bez).
Np.brzeg kwadratu; brzeg kostki i pow-a stożka w .
12.FORMY RÓŻNICZKOWE
Niech V będzie przest-ą lin-ą nad ciałem R. oznacza k-krotny iloczyn kartezjański przestrzeni V tzn zbiór wszystkich ciągów k-elemento-ch złożonych z wektorów przestrzeni V.
Funkcję naz formą k-liniową jeśli jest ona liniowa ze względu na każdą zmienną z osobna tzn = + dla dowolnych wektorów skalarów oraz j=1,2,.,k.
Przez ozn zb-r wszystkich form k-liniowych określonych na przest linio V.
1.
2.
DEF ILOCZYNU TENSOROWEGO
Dla form wieloliniowych i rzędów odpowiednio k,l określonych na przestrzeni liniowej V def-jemy iloczyn tensorowy ozn go za pomocą wzoru = . Zatem def tensorowa jest formą rzedu k+l. Kolejność czynników i w tej def jest ważna.
Własności iloczynu tensorowego:
FORMA SKOŚNIE SYMETRYCZNA DEF
Forma k-liniowa na przestrzeni liniowej V jest fss jeśli dla różnych wskaźników równość (1.5) jest spełniona dla wszystkich wektorów . Fss naz antysymetrycznymi. Np. wyznacznik;iloczyn wektorowy wektorów liniowych .
Zbiór k-lin-ch fss-ch określonych za pomocą przest V ozn przez -podprze-ń przes-i
ILOCZYN ZEWNĘTRZNY
Iloczyn tensorowy fss-ch nie jest na ogół fss-ą dlatego w klasie formss-ch wprowadzam operację iloczynu zewnętrznego ozn symb za pomocą wzoru
Tak określony iloczyn jest fss rzędu k+l.
Natomiast
-operacja altermowania
Własności ilo zew:
Dla fss-ch na przest V i skalara zachodzą równości:
13. RÓŻNICZKA ZEWNĘTRZNA
DEF (umowa: formami stopnia zero w obszarze są funkcje )
Rz-ą formy stopnia zero f gdy f jest fun-ą rózniczkowalną naz zwykłą różniczkę df tej funkcji. Jeśli określona w obszarze for róż-wa stopnia k ma różniczkowalne współcz-ki to jej rz-ą jest forma (1.6)
TW
a)Jeśli formy róż-we i (tego samego stopnia)są róż-lne w obszarze D to
b)Jeś jest fo-ą klasy to
c) Jeś jest fo-ą stopnia k i jest formą stopnia l i obie są róż-lne to .
14. PRZENIESIENIE FORM PRZEZ ODWZOROWANIE
Zobaczmy co dzieje się z z f.r. st 0 przy odwzor-ch obszaru.
Niech będzie odwzor-m obszaru w obszar .Dowolny pu-t jest przeprowadzony za pomocą przeksz-a w punkt .Jeżeli na zb-e Gokreślona jest f-cja to składając ją z odwzo-em otrzy-y fu-ę na obszarze .
Zatem za pomo odwz.-a zbudowałam oddz. .
Rozważmy ogólny przypadek przen-a form dowolnego stopnia.
Niech będzie odwz.-m różniwa-m obsz w ob i niech będzie odpowiadającym na przeksz stycznym w pu-ie oraz niech będzie f.r. st k w obs-e G.
TW
Niech będzie odwz.-m różniwa-m obsz w ob . Niech , , , i niech będą f.r-i na G, g niech bę fu-ą określ na G oraz .
Wówczas
a) (j=1,2,.,n)
b)
c)
d)
e)
TW
Jeżeli jest odwz-m różniwa-m obsu w ob i jest k-formą na Gw postaci to zachodzi równość
15.FORMY NA POW-CH
Niech bę gł-ą pow-ą. Mówimy że na pow-i S określona jest f.r. w st k jeśli w każdym pu-e na wektorach przes stycznej określona jest k-forma .
Jeżeli gł-a pow S leży w obsz w którym określona jest forma , to ponieważ w dowolnym pu-e zachodzi więc można rozpatrywać zawężenie formy na
. Wtedy na pow-i S powstanie forma którą naz obcięciem formy do pow-i S.
wiemy że pow-a jest lokalnie określona w sposób parametryczny.
Niech bę pow-iią gł-ą w G określoną za POM-ą jednej mapy i niech bę f.r. w obsz G. Wówczas fo można przenieść do dziedziny mapy i zapisać w ukł współ-ch. Otrzymana w ten sposób na D forma pokrywa się z fo-ą .
16. FORMA RÓŻNICZKOWA NA POW-I
Mówimy że jest obszarem. Na D określona jest funkcja różnicz w stopniu k jeśli w każdym pun-e jest formą k-liniową skoś sym-ą. Przykł fr………
Zatem dowolna fr-a st. k jest kombinacją liniowa najprostszych form k-lin-ch utworzonych z różniczek współrzędnych.
17. CAŁKOWANIE FORM RÓŻNICZKOWYCH
a) Jeżeli w obszarze określona jest forma róż-wa to całkę z niej def-jemy =
b) Jeśli jest gładką k-wym-ą zorientowaną powierzchnią, jej parametryzacją i jest k-formą na S to
przy czym znak + obieramy gdy param-cja zgadza się z określoną na S orientacją a znak – w przeciwnym wypadku.
c) Jeśli S jest kawałkami gł-ą k-wym-ą zorien-ą pow-ą w a jest k-formą na pow-i S(określoną tam gdzie pow-nia S ma przestrzeń styczną)to gdzie jest rozkładem pow-ni S na gładkie parametryz-ne k-wym-e kawałki przecinające się tylko wzdłuż kawałkami gła-ich powi-ni o mniejszych wym-ach.
18. FORMA OBJĘTOŚCI
Jeżeli jest zorientowaną przestrzenią euk-ą z iloczynem skalarnym to formą objętości przestrzeni odpowiadającą danej orientacji tej przes-i i ilo-i ska-u naz się skośnie sym-czną k-formę która na ortonormalnej bazie z danej klasy orientacji przestrzeni przyjmuje wartość 1.F.o. naz jest też elementem objętości.
DEF Jeżeli gł-a k-wym-a zor-a pow S leży w przest-i eukl-j to w każdej przes-i stycznej przes-i S istnieje orientacja zgodna z orientacją S i ilo-n skal-y indukowany przez ilo-n ska-y z , a zatem f.o. . Powstająca w ten sposób na pow-i Sforma różniczkowa stopnia k naz się f.o. lub elem-m obj-i S.
19. POLE ZORIENTOWANEJ POWIERZCHNI
P.z. gła-j pow-i jest równe całce po tej pow-i z fo-y obj-i odpowiadającej wybranej na tej pow-i orientacji.(daj def z 18)
20. CAŁKI POWIERZCHNIOWE ZORIENTOWANE I NIEZOR-NE
……………………………………….
……………………………………….
………………………………………
21. PODST-E WZORY CAŁKOWE ANAL MAT
Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego
Strumień pola wektorowego A przez powierzchnię zamkniętą gładką S zorientowaną na zewnątrz, ograniczającą obszar V normalny względem wszystkich płaszczyzn układu współrzędnych, jest równy całce potrójnej z dywergencji tego pola w obszarze V, czyli:
A*ds= divA dV
Twierdzenie Stokesa
Całka krzywoliniowa skierowana wzdłuż krzywej gładkiej przestrzennej zamkniętej równa się strumieniowi rotacji przez dowolną powierzchnię gładką S ograniczoną krzywą K, przy założeniu, że zwrot obiegu po krzywej i strona powierzchni są zgodne, tak więc:
A*dl = rotA*ds.
TW STOKESA
Niech S będzie k-wym-ą zwartą zorientowaną kawa-mi gł-ą (co najmniej klasy ) pow-ą z brzegiem leżącą na obszarze w którym określona jest gładka(conajmn kl ) (k-1) fo-a różniczkowalna
w której orientacja brzegu jest zgodna bz orien-ą pow-i S.
-------------------------------------------
Podstawiając konkretne wartości dla n i k otrzymujemy,jako szczególne przypadki, klasyczne tw-a anal-y.
1. n=2, k=2
TW GREENA
Niech będzie płaszczyzną z ustalonym na niej układem współrzędnych x,y D-ograni-m obszarem na tej płaszczyźnie którego brzeg składa się z krzywych kawałkami gła-ch (klasy ) oraz niech P i Q będą funkcjami gła-i (klasy ) w obszarze wówczas w którym po prawej stronie stoi całka po brzegu obszaru D zorie-go w sposób zgodny z orientacją obszaru D.
2. n=3, k=2
TW STOKESA
Niech S będzie orientowaną kawa-i gł-a (klasy )zwartą dwuwym-ą pow-ą z brzegiem
Leżącym w obszarze na którym określona jest gładka (klasy ) 1-forma wówczas zachodzi wzór + = przy czym orientacja brzegu jest zgodna z orientacją pow-ni S.
3. n=3, k=3
TW GAUSSA-OSTROGRADSKIEGO
Niech będzie przestrzenią eukl-ą z ustalonym w niej układem współ-ch x,y,z. Niech D będzie ograni-m obszarem w którego brzeg stanowią powierz-e kawal-i gła-e (klasy ) i P,Q,R niech będą funkcjami gła-i (klasy ) w obszarze . Wówczas zachodzi wzór w którym brzeg obszaru D jest zorientowany zgodnie z orien-ą obsz-u D.