Matematyka

Proszę o pomoc w zadaniu z załącznika;>

Odpowiedź

kimi1999

Co prawda w poleceniu jest kilka niedopowiedzeń, ale mam nadzieję, że niczego nie przeinaczę. Podobnie też jak w poprzednich zadaniach, być może będziesz musiał pozmieniać oznaczenia na takie, jak były na wykładach, ale to już raczej nie problem. Jak widać, do pierwszych dwóch punktów mamy podany wielomian [latex]underline{v}in V[/latex] postaci [latex]underline{v}=a+bt+ct^2[/latex] a) Mamy dane wektory [latex]hat{e}_1[/latex], [latex]hat{e}_2[/latex] oraz [latex]hat{e}_3[/latex] i przy ich pomocy musimy zapisać wielomian [latex]underline{v}[/latex] Niech więc poszukiwany wektor [latex]x=ig[x_1,x_2,x_3ig] [/latex]. Wtedy: [latex]underline{v}=x_1cdothat{e}_1+x_2cdothat{e}_2+x_3cdothat{e}_3\\a+bt+ct^2=x_1cdot1+x_2cdot t+x_3cdotdfrac{t^2}{2}[/latex] Porównując współczynniki przy jednakowych potęgach, dostaniemy: [latex]x_1=a,qquad x_2=b,qquad dfrac{x_3}{2}=c\\ x_1=a,qquad x_2=b,qquad x_3=2c[/latex] Więc szukane współrzędne wektora to [latex]x=ig[a,b,2cig][/latex]. Teraz druga część podpunktu. Żeby wyznaczyć macierz operatora, wystarczy podziałać nim na wektory bazy a następnie wpisać współczynniki jakie się pojawią w wyniku tego działania do macierzy [latex]hat{A}[/latex] (jako kolumny). Będziemy mieli kolejno: [latex]A(hat{e}_1)=dfrac{d}{dt}hat{e}_1=dfrac{d}{dt}1=0=0cdot1+0cdot t+0cdot dfrac{t^2}{2}=oxed{0hat{e}_1+0hat{e}_2+0hat{e}_3}\\\ A(hat{e}_2)=dfrac{d}{dt}hat{e}_2=dfrac{d}{dt}t=1=1cdot1+0cdot t+0cdot dfrac{t^2}{2}=oxed{1hat{e}_1+0hat{e}_2+0hat{e}_3}\\\ A(hat{e}_3)=dfrac{d}{dt}hat{e}_3=dfrac{d}{dt}dfrac{t^2}{2}=t=0cdot1+1cdot t+0cdot dfrac{t^2}{2}=oxed{0hat{e}_1+1hat{e}_2+0hat{e}_3}\\\[/latex] No i po wpisaniu liczb stojących przed wektorami bazy otrzymamy macierz operatora postaci: [latex]hat{A}= left[egin{array}{ccc}0&1&0\0&0&1\0&0&0end{array} ight] [/latex] b) Wszystko robimy analogicznie jak poprzednio, tylko używając innej bazy. Oznaczmy więc [latex] ilde{x}=ig[ ilde{x}_1, ilde{x}_2, ilde{x}_3ig][/latex] i spróbujmy zapisać wielomian [latex]underline{v}[/latex] przy pomocy podanych wektorów. Będzie: [latex]underline{v}=x_1cdot ilde{e}_1+x_2cdot ilde{e}_2+x_3cdot ilde{e}_3\\a+bt+ct^2= ilde{x}_1cdotig(1+t+t^2ig)+ ilde{x}_2cdotig(t+t^2ig)+ ilde{x}_3cdotdfrac{t^2}{2}\\ a+bt+ct^2= ilde{x}_1+ ilde{x}_1t+ ilde{x}_1t^2+ ilde{x}_2t+ ilde{x}_2t^2+ ilde{x}_3cdotdfrac{t^2}{2}\\a+bt+ct^2= ilde{x}_1+ig( ilde{x}_1+ ilde{x}_2ig)t+ig( ilde{x}_1+ ilde{x}_2+dfrac{ ilde{x}_3}{2}ig)t^2[/latex] A stąd, po porównaniu współczynników przy jednakowych potęgch: [latex] ilde{x}_1=a\\ ilde{x}_1+ ilde{x}_2=bquadimpliesquad ilde{x}_2=b- ilde{x}_1quadimpliesquad ilde{x}_2=b-a\\ ilde{x}_1+ ilde{x}_2+dfrac{ ilde{x}_3}{2}=cquadimpliesquaddfrac{ ilde{x}_3}{2}=c-a-b+aquadimpliesquad ilde{x}_3=2(c-b)[/latex] Mamy więc poszukiwane współrzędne wektora [latex] ilde{x}=ig[a,b-a,2(c-b)ig][/latex] No i na koniec macierz operatora [latex]A[/latex] w tej bazie. Najpierw liczymy pochodne, przy czym tutaj wektory bazy są trochę bardziej skomplikowane, więc pod koniec obliczeń (do przedstawienia wyniku jako kombinacji wektorów z bazy) skorzystamy z wyznaczonych współrzędnych [latex] ilde{x}[/latex] (widać, że pozwalają nam one zapisać dowolny wielomian [latex]a+bt+ct^2[/latex] właśnie jako kombinację wektorów z podanej bazy). Tak więc będziemy mieli: [latex]A( ilde{e}_1)=dfrac{d}{dt} ilde{e}_1=dfrac{d}{dt}ig(1+t+t^2ig)=0+1+2t=1+2t=\\=1cdot ilde{e}_1+(2-1)cdot ilde{e}_2+2(0-2)cdot ilde{e}_3=oxed{1cdot ilde{e}_1+1cdot ilde{e}_2-4cdot ilde{e}_3}\\\ A( ilde{e}_2)=dfrac{d}{dt} ilde{e}_2=dfrac{d}{dt}ig(t+t^2ig)=1+2t=\\=1cdot ilde{e}_1+(2-1)cdot ilde{e}_2+2(0-2)cdot ilde{e}_3=oxed{1cdot ilde{e}_1+1cdot ilde{e}_2-4cdot ilde{e}_3}\\\ [/latex] [latex]A( ilde{e}_3)=dfrac{d}{dt} ilde{e}_3=dfrac{d}{dt}dfrac{t^2}{2}=t=0cdot ilde{e}_1+(1-0)cdot ilde{e}_2+2(0-1)cdot ilde{e}_3=\\= oxed{0cdot ilde{e}_1+1cdot ilde{e}_2-2cdot ilde{e}_3}[/latex] Tak więc macierz operatora [latex]A[/latex] jest postaci: [latex] ilde{A}= left[egin{array}{ccc}1&1&0\1&1&1\-4&-4&-2end{array} ight][/latex] c) Ponieważ przekształcamy bazę [latex]hat{e}_i[/latex] do bazy [latex] ilde{e}_i[/latex], więc musimy po prostu zapisać każdy z wektorów drugiej bazy jako kombinację wektorów z pierwszej. Tu akurat łatwo dostaniemy, że: [latex] ilde{e}_1=1+t+t^2=1cdot1+1cdot t+2cdotdfrac{t^2}{2}=oxed{1cdothat{e}_1+1cdothay{e}_2+2cdothat{e}_3}\\\ ilde{e}_2=t+t^2=0cdot1+1cdot t+2cdotdfrac{t^2}{2}=oxed{0cdothat{e}_1+1cdothay{e}_2+2cdothat{e}_3}\\\ ilde{e}_3=dfrac{t^2}{2}=0cdot1+0cdot t+1cdotdfrac{t^2}{2}=oxed{0cdothat{e}_1+0cdothay{e}_2+1cdothat{e}_3}\\\[/latex] I znowu wpisując otrzymane współczynniki jako kolumny, dostaniemy poszukiwaną macierz przejścia: [latex]S= left[egin{array}{ccc}1&0&0\1&1&0\2&2&1end{array} ight] [/latex] d) Od razu widać, że niestety będziemy potrzebowali macierzy odwrotnej do [latex]S[/latex]. Tu każdy może liczyć jak chce więc niczego nie narzucam. Najpierw zauważmy, że macierz [latex]S[/latex] jest macierzą trójkątną dolną (zera ponad główną przekątną), więc jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów znajdujących się na głównej przekątnej, czyli jest równy 1. Stąd macierz [latex]S[/latex] jest nieosobliwa i odwracalna. W tym przypadku do wyznaczenia [latex]S^{-1}[/latex] najszybsza będzie chyba metoda eliminacji Gaussa, ale jak mówiłem, każdy robi jak chce. Otrzymamy: [latex]left[egin{array}{ccc|ccc}1&0&0&1&0&0\1&1&0&0&1&0\2&2&1&0&0&1end{array} ight]stackrel{substack{W_2-W_1\W_3-2W_1}}{sim} left[egin{array}{ccc|ccc}1&0&0&1&0&0\0&1&0&-1&1&0\0&2&1&-2&0&1end{array} ight]stackrel{W_3-2W_2}{sim}\\\ stackrel{W_3-2W_2}{sim}left[egin{array}{ccc|ccc}1&0&0&1&0&0\0&1&0&-1&1&0\0&0&1&0&-2&1end{array} ight][/latex] Z prawej strony pionowej linii mamy szukaną [latex]S^{-1}[/latex] postaci: [latex]S^{-1}=left[egin{array}{ccc}1&0&0\-1&1&0\0&-2&1end{array} ight][/latex] Możemy więc teraz przejść do sprawdzenia, czy [latex] ilde{x}=S^{-1}x[/latex]. Będzie: [latex]S^{-1}x=left[egin{array}{ccc}1&0&0\-1&1&0\0&-2&1end{array} ight]cdotleft[egin{array}{c}a\b\2cend{array} ight]=left[egin{array}{c}1cdot a+0cdot b+0cdot 2c\-1cdot a+1cdot b+0cdot 2c\0cdot a-2cdot b+1cdot 2cend{array} ight]=\\\ =left[egin{array}{c}a\-a+b\-2b+2cend{array} ight]=left[egin{array}{c}a\b-a\2(c-b)end{array} ight]= ilde{x}[/latex] Czyli dostaliśmy poprawny wynik. e) Teoretycznie licząc ten iloczyn przechodzimy z bazy "z daszkiem" do bazy "z tyldą", więc macierz [latex]hat{A}[/latex] powinna przejść w [latex] ilde{A}[/latex] (bo macierze te są podobne, jako że reprezentują ten sam operator tylko wyrażony w różnych bazach, przy czym to dla samego rozwiązania raczej mniej ważne). Sprawdźmy, czy tak będzie: [latex]S^{-1}hat{A}S=left[egin{array}{ccc}1&0&0\-1&1&0\0&-2&1end{array} ight] left[egin{array}{ccc}0&1&0\0&0&1\0&0&0end{array} ight]left[egin{array}{ccc}1&0&0\1&1&0\2&2&1end{array} ight]=\\\= left[egin{array}{ccc}0&1&0\0&-1&1\0&0&-2end{array} ight]left[egin{array}{ccc}1&0&0\1&1&0\2&2&1end{array} ight]= left[egin{array}{ccc}1&1&0\1&1&1\-4&-4&-2end{array} ight]= ilde{A}[/latex] Jak się można było tego spodziewać, w wyniku otrzymaliśmy [latex] ilde{A}[/latex].

Dodaj swoją odpowiedź

Język rosyjski

Proszę o pomoc w zadaniu z załącznika;>

Witam, proszę o pomoc w zadaniu z załącznika. Język rosyjski. Troszkę pilne.

Proszę o pomoc w zadaniu z załącznika. Z góry dziękuję.

Proszę o pomoc w zadaniu z załącznika:)

Proszę o pomoc w zadaniu z załącznika:)

Proszę o pomoc w zadaniu z załącznika podpunkt c.