Oblicz granicę ciągu: [latex] lim_{n o infty} [ sqrt{n+sqrt{n+sqrt{n} }} - sqrt{n} ][/latex]

Dokonujemy rozszerzenia tego wyrażenia przez to samo tylko ze znakiem +. (tak jak pozbywanie się pierwiastka z wyrażenia np. 1/(1+[latex] sqrt{2} [/latex])). Rozszerzasz przez:  [latex]( sqrt{n+ sqrt{n+ sqrt{n} }}} + sqrt{n}) [/latex] Otrzymujesz w liczniku:  [latex]( sqrt{n+ sqrt{n+ sqrt{n} }}} - sqrt{n})*( sqrt{n+ sqrt{n+ sqrt{n} }}} + sqrt{n})[/latex] A tu już wzorem skróconego mnożenia (a-b)(a+b) [latex] n+ sqrt{n+ sqrt{n} }} - n= sqrt{n+ sqrt{n} }}[/latex] teraz z licznika wyciągasz n przed pierwiastek: [latex] sqrt{n} sqrt{1+ 1/ sqrt{n} } }}[/latex] Przypominam mianownik, podobnie sztuczka z wyłączeniem [latex] sqrt{n} [/latex] przed nawias: [latex]( sqrt{n+ sqrt{n+ sqrt{n} }}} + sqrt{n}) [/latex] [latex] sqrt{n+ sqrt{n+ sqrt{n} }}} + sqrt{n})= sqrt{n}sqrt{1+ sqrt{1/ sqrt{n} + 1/ sqrt[4]{n} }}} + 1)[/latex] teraz skracasz [latex] sqrt{n} [/latex] w liczniku i mianowniku. Wszędzie gdzie n z lub bez pierwiastka jest w mianowniku ułamka to ułamek dąży do 0, ponieważ n dązy do nieskończoności. Czyli zostaje [latex] sqrt{1} [/latex]/ ([latex] sqrt{1} [/latex]+ [latex] sqrt{1} [/latex])=1/2 Sorry, że nie jest aż tak czytelnie, ale nie jestem jeszcze ultra biegły w pisaniu tych równań;)

[latex]sqrt{n+sqrt{n+sqrt{n}}}-sqrt{n} = frac{n+sqrt{n+sqrt{n}}-n}{sqrt{n+sqrt{n+sqrt{n}}}+sqrt{n}} = frac{sqrt{n+sqrt{n}}}{sqrt{n+sqrt{n+sqrt{n}}}+sqrt{n}} = \ = frac{sqrt{n+nsqrt{frac{1}{n}}}}{sqrt{n+sqrt{n+nsqrt{frac{1}{n}}}}+sqrt{n}} = frac{sqrt{n(1+sqrt{frac{1}{n}})}}{sqrt{n+sqrt{n(1+sqrt{frac{1}{n}})}}+sqrt{n}} = frac{sqrt{n}sqrt{(1+sqrt{frac{1}{n}})}}{sqrt{n+nsqrt{frac{1}{n}(1+sqrt{frac{1}{n}})}}+sqrt{n}} [/latex] [latex]frac{sqrt{n}sqrt{(1+sqrt{frac{1}{n}})}}{sqrt{n(1+sqrt{frac{1}{n}(1+sqrt{frac{1}{n}})})}+sqrt{n}} = frac{sqrt{n}sqrt{1+sqrt{frac{1}{n}}}}{sqrt{n}sqrt{1+sqrt{frac{1}{n}(1+sqrt{frac{1}{n}})}}+sqrt{n}} = frac{sqrt{1+sqrt{frac{1}{n}}}}{sqrt{1+sqrt{frac{1}{n}(1+sqrt{frac{1}{n}})}}+1}[/latex] 1/n dąży do 0, więc całość dąży do 1/2

Oblicz granicę ciągu: [latex]f) lim_{n o infty} [ sqrt{ n+sqrt{n+sqrt{n}} } - sqrt{n} ][/latex] Ma wyjść 1/2, ale ciągle dochodzę do symboli nieoznaczonych. Będę wdzięczny za pomoc.

Oblicz granicę ciągu: [latex]f) lim_{n o infty} [ sqrt{ n+sqrt{n+sqrt{n}} } - sqrt{n} ][/latex] Ma wyjść 1/2, ale ciągle dochodzę do symboli nieoznaczonych. Będę wdzięczny za pomoc....

Oblicz granicę ciągu (an)[latex]lim_{n o infty} (n^{3}+2n+1) lim_{n o infty} (sqrt{n^{2}+1}-n)[/latex]

Oblicz granicę ciągu (an)[latex]lim_{n o infty} (n^{3}+2n+1) lim_{n o infty} (sqrt{n^{2}+1}-n)[/latex]...

Oblicz granicę ciągu: [latex] lim_{n o infty} n sqrt[3]{2} - sqrt[3]{2 n^{3} +5 n^{2}-7 } odp: -5/3 sqrt[3]{4} [/latex]

Oblicz granicę ciągu: [latex] lim_{n o infty} n sqrt[3]{2} - sqrt[3]{2 n^{3} +5 n^{2}-7 } odp: -5/3 sqrt[3]{4} [/latex]...

Oblicz granicę ciągu: [latex] lim_{n o infty} sqrt{n} ( sqrt{n+1}- sqrt{n} [/latex]

Oblicz granicę ciągu: [latex] lim_{n o infty} sqrt{n} ( sqrt{n+1}- sqrt{n} [/latex]...

Oblicz granicę ciągu [latex] lim_{n o infty} n - sqrt{ n^{2} + n} [/latex]

Oblicz granicę ciągu [latex] lim_{n o infty} n - sqrt{ n^{2} + n} [/latex]...

Proszę o pomoc Oblicz granicę ciągu [latex] lim_{n o infty} frac{ sqrt[]{ n^{2}+5n+3 }+2(n+1) }{7n+ pi } [/latex] Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku.

Proszę o pomoc Oblicz granicę ciągu [latex] lim_{n o infty} frac{ sqrt[]{ n^{2}+5n+3 }+2(n+1) }{7n+ pi } [/latex] Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku....