Liczby i działania

LICZBY NATURALNE

Liczby naturalne to najbardziej oczywista i natychmiastowa konstrukcja kojarząca się z matematyką. Były to pierwsze liczby na jakich w starożytności człowiek nauczył się pierwszych działań, i zaczął swoją przygodę z matematyką. Przez liczbę naturalną rozumiemy liczbą całkowitą większą od 0. Zbiór liczb naturalnych oznaczamy dużą literką "N" i zazwyczaj piszemy :
N={1,2,3...}

Pewne kontrowersje wywołuje sprawa zera. Niektórzy uważają, że zero powinno się również uznać jako element liczby naturalnych (czasem jednak wygodnie jest przyjąć, że liczba 0 jest również liczbą naturalną. Tak robi się na przykład w informatyce i teorii mnogości). Ma to znaczenie gdy obliczamy puste iloczyny (np. 0!=1), które potocznie uznaje się za iloczyny liczb naturalnych. W praktyce jednak częściej przyjmuje się, że pierwszą liczbą naturalną jest 1, zaś gdy potrzeba koniecznie to pisze się sumę zbioru liczb naturalnych i zera. Jest to kwestia dyskusyjna więc warto zaznaczać czy uznaje się takie czy inne podejście.

Na liczbach naturalnych określamy intuicyjnie podstawowe działania arytmetyczne: dodawanie, mnożenie. Wyniki tych dwóch działań wykonanych na liczbach naturalnych zawsze należą do zbioru N. Inaczej sprawa wygląda z operacjami odwrotnymi (wynikiem odejmowania może być liczba ujemna, a wynikiem dzielenia liczba wymierna). Zbiór liczb naturalnych to półgrupa ze względu na dodawanie.
Historia
Liczby naturalne (bez zera) początkowo były stosowane wyłącznie do określania liczebności obiektów.
Pierwszy krok dla wyabstrahowania liczb naturalnych to stworzenie cyfr na określenie danych wartości liczb. Przykładowo w Babilonii stosowano cyfry o wartościach od 1 do 10, zaś o wartości liczby decydowała pozycja kolejnych cyfr w szeregu. W starożytnym Egipcie stosowano odpowiednie hieroglify o wartościach 1, 10 i kolejnych potęgach 10 aż do miliona.
Znacznie później pojawiło się zero jako oddzielna wartość. Już w siódmym wieku p.n.e. Babilończycy stosowali zero w zapisie pozycyjnym, ale nigdy nie występowało ono samodzielnie. W Cywilizacji Majów zero istniało jako liczba już w I w. p.n.e., ale Majowie nie rozprzestrzenili tej idei poza Amerykę Środkową. Współczesne pojęcie zera przypisuje się Hindusowi Brahmagupcie, który stworzył je w 628. Zero stosowano w średniowieczu, ale nie miało ono swojej reprezentacji w cyfrach rzymskich - stosowano łacińskie słowo nullae.
Pierwsze systematyczne, abstrakcyjne studia nad liczbami przypisuje się Greckim filozofom: Pitagorasowi i Archimedesowi. Poza Grecją niezależne rozważania prowadzono w rejonie Indii, Chin i Ameryki Środkowej.
Dopiero w XIX w. pojawiła się ścisła, teoriomnogościowa definicja zbioru liczb naturalnych. Zgodnie z nią, zero jako odpowiednik zbioru pustego jest najmniejszym elementem tego zbioru. Wielu matematyków, szczególnie w teorii liczb jednak wyłącza tę liczbę ze zbioru liczb naturalnych.
Uogólnienia
Stworzono rozmaite rozszerzenia pojęcia liczb naturalnych. Najbardziej oczywistymi są liczby całkowite, liczby wymierne i liczby rzeczywiste.
1. Czy istnieje w zbiorze liczb naturalnych liczba największa?
2. Niech n oznacza pewną liczbę naturalną różną od zera. Zapisz liczby sąsiadujące z nią na osi liczbowej.
3. Niech n oznacza dowolna liczbę naturalną. Zapisz trzy kolejne liczby naturalne następujące po niej.


W tym zbiorze wyróżniamy:
W zbiorze liczb naturalnych wyróżniamy liczby parzyste (takie, które są podzielne przez 2) i liczby nieparzyste.
4. Wiedząc, że n oznacza dowolną liczbę naturalną, połącz w pary opis liczby z jej zapisem symbolicznym.
a.dowolna liczba parzysta b.dowolna liczba nieparzysta c.liczba podzielna przez 3 d.pięciokrotność liczby
I 5n II 3n III 2n + 1 IV 2n

Dziesiątkowy system pozycyjny
Najpowszechniej stosowanym systemem zapisu liczb jest dziesiątkowy system pozycyjny, co oznacza ,że wartość każdej z cyfr użytych do zapisu liczby zalezy od miejsca tej cyfry zajmowanego w zapisie. Np.
· w liczbie 573 cyfra 5 oznacza pięć setek, czyli jej wartość wynosi 500;
· w liczbie 5842 cyfra 5 oznacza pięć jedności tysięcy i jej wartość wynosi 5000;
· w liczbie 1151 cyfra 5 oznacza pięć dziesiątek i jej wartość wynosi 50.
Liczby pierwsze i liczby złożone
W zbiorze liczb naturalnych wyróżniamy liczby pierwsze, liczby złożone oraz takie, które nie są ani pierwsze, ani złożone.
Liczną pierwszą nazywamy taka liczbę naturalną, która ma tylko dwa różne dzielniki: jeden i samą siebie.
Liczba złożona ma więcej niż dwa różne dzielniki.
Liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone.
5. Zapisz liczbę 240 w postaci iloczynu na kilka sposobów.
6. wypisz kilka liczb pierwszych mniejszych od 50 oraz kilka liczb złożonych mniejszych od 30.

Cechy podzielności
Liczba naturalna a jest podzielna przez liczbę naturalną b≠0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba naturalna c, taka że a = bc.
Cechy podzielności:
· Przez 2 dzielą się liczby parzyste, czyli liczby mające w rzędzie jedności cyfry 2,4,6,8 lub 0;
· Przez 3 dzielą się liczby, których suma cyfr jest podzielna przez 3;
· Przez 4 dzielą się liczby, których cyfry z rzędów dziesiątek i jedności tworzą liczbę podzielną przez 4;
· Przez 5 dzielą się liczby mające w rzędzie jedności cyfrę 0 lub 5;
· Przez 9 dzielą się liczby, których suma cyfr jest podzielna przez 9 ;
· Przez 10 dzielą się liczby mające w rzędzie jedności cyfrę 0;
· Przez 25 dzielą się liczby będące pełnymi setkami oraz takie, których cyfry w rzędzie dziesiątek i jedności tworzą liczby 25,50,75.
7. W liczbie 254732? Dopisz cyfrę jedności tak, aby liczba była podzielna przez:
a.2 b.3 c.4 d.5 e.9 f.10 g.25 h.6 j.przez 3, ale nie przez 9
8. Sprawdź, czy podane liczby dzielą się przez 12.
I 32 + 52 + 72 + 1
Rozkład liczby na czynniki pierwsze
Jest to przedstawienie liczby w postaci iloczynu liczb pierwszych
Np. Rozkład liczby 112 na czynniki pierwsze:
112 2 - 2 to najmniejszy dzielnik liczby 112 będący liczbą pierwszą
56 2 - 2 to najmniejszy dzielnik liczby 56 będący liczbą pierwszą
28 2 - 2 to najmniejszy dzielnik liczby 28 będący liczbą pierwszą
14 2 - 2 to najmniejszy dzielnik liczby 14 będący liczbą pierwszą
7 2 - 7 to najmniejszy dzielnik liczby 7 będący liczbą pierwszą
1
czyli 112 = 2◦2◦2◦2◦7
9. Przedstaw dana liczbę w postaci iloczynu liczb pierwszych.
a.128 b.210

NWD i NWW – co to oznacza?
Badając podzielność liczb naturalnych, możemy wyznaczać dzielniki, wielokrotności oraz NWD(największy wspólny dzielnik) i NWW( najmniejsza wspólną wielokrotność) liczb naturalnych. Np. D32 = {1,2,4,8,16,32}, D24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}.
NWD (24,32) = 8;
W25 = {25,50,75,100,125,150,175,200,225,250...},
W40 = {40,80,120,160,200,240,280,320...},
NWW (25,40) = 200
10. znajdź NWD podanych liczb: 24,36
11. znajdź NWW podanych liczb: 20,30





LICZBY CAŁKOWITE
Zbiór liczb całkowitych (tworzą go liczby naturalne oraz liczby przeciwne do nich) można zdefiniować jako rozszerzenie zbioru liczb naturalnych o wszystkie wyniki operacji odejmowania liczb naturalnych od zera. Mówiąc prosto jest to zbiór składający się z zera oraz wszystkich elementów ciągów (1, 2, 3, 4 ...) oraz (-1, -2, -3, -4, ...).
12. Czy w zbiorze liczb całkowitych jest liczba najmniejsza? A największa?
13. Wykonaj działania:
a.5+(-2)-(-4)+(-3)-(2)+(-3) b.3◦(-4)-(-2)◦(-3)+5◦(-2)-(-12):( -4)
14. Zaznacz na osi liczbowej liczby całkowite spełniające podane warunki:
a. Liczby większe od –3 i mniejsze od 5
b. Liczby większe lub równe –5 i mniejsze od 1
c. Liczby mniejsze od –4 lub liczby większe od 2

LICZBY WYMIERNE
Liczby wymierne to liczby, które można zapisać w postaci stosunku dwóch liczb całkowitych. Inaczej: to te liczby rzeczywiste, które mają skończone bądź (od pewnego miejsca) okresowe rozwinięcia dziesiętne. Zbiór liczb wymiernych najczęściej oznacza się przez Q. Każda liczba wymierna ma rozwinięcie dziesiętne. Rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej może być:
skończone, np. = 0,25 lub nieskończone, np. = 0,666...
Rozwinięcia nieskończone liczb wymiernych są okresowe, tz. Powtarza się w nich pewna grupa cyfr, która nazywamy okresem rozwinięcia. Np. = 0,285714... lub 0,(285713). Cyfry 285714 są okresem rozwinięcia liczby .
15. Zapisz wynik dzielenia w postaci:
a. ułamka zwykłego; I 25:4 II 6:11 III 35:4
b. liczby dziesiętnej; I 35:4 II 12:5 III 4:9
16. Skróć podane ułamki:
17. Wykonaj działania:
a.2,75+ b.3 - 1,4 c.(3,5+5 ): 2,25
Zamiana rozwinięcia okresowego liczby na ułamek zwykły
2,5333... =





18. Zamień rozwinięcie dziesiętne okresowe na ułamki zwykłe: 3,2(4)


PROCENTY
1% jakiejś wielkości to jedna setna tej wielkości.
75% pewnej kwoty to 0,75 tej kwoty lub tej kwoty.
1% liczby 200 to 0,01 liczby 200, czyli 0,01◦200=2.
Przy obliczeniach procentowych należy pamiętać, aby podać jakiej wielkości one dotyczą.
Aby obliczyć procent danej liczby, zamieniamy procent na ułamek zwykły lub liczbę dziesiętna i mnożymy przez daną liczbę. Tak na przykład oblicza się 27% liczby 125:
27% liczby 125, czyli ◦125 = =33,75.
Aby obliczyć liczbę, znając wartość jej procentu, możemy obliczyć najpierw wartość jej 1%, a następnie pomnożyć przez 100 lub ułożyć równanie, przyjmując za niewiadomą wartość szukanej liczby.
Np. 15% pewnej liczby wynosi 45. Jaka to liczba?



Możemy tez obliczać, jaki procent jednej liczby stanowi druga liczba.
Np.
19. Oblicz: a.5% liczby 60 b.130% liczby 80
20. Znajdź liczbę, której 18% wynosi 36
21. Jakim procentem liczby 45 jest liczba 6?




LICZBY NIEWYMIERNE
Liczby niewymierne to te liczby rzeczywiste, które nie są liczbami wymiernymi. Oznacza to, że liczby niewymiernej nie można zapisać w postaci ilorazu dwu liczb całkowitych.
Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe.
Często podczas obliczeń posługujemy się przybliżeniami dziesiętnymi liczb niewymiernych. Np.5 ≈2,2, 7≈2,6 10≈3,2 3≈1,4 16≈2,5
Przykłady liczb niewymiernych: , π, 0,123456789101112131415... (zapisy dziesiętne kolejnych liczb naturalnych).
Pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia z liczby naturalnej jest liczbą wymierną wtedy i tylko wtedy, gdy liczba ta jest kwadratem liczby naturalnej. Zatem na przykład jest liczbą niewymierną.
Liczby niewymierne odkryli Pitagorejczycy, w związku z twierdzeniem Pitagorasa. Zauważyli oni mianowicie, że przekątna kwadratu o boku 1 jest niewspółmierna z bokiem, co właśnie oznacza niewymierność liczby .
22. Używając kalkulatora, podaj przybliżenie dziesiętne podanych liczb z dokładnością do trzech miejsc po przecinku.
a.6 b.15 c.2 8 d.5 20 e. 3 + 5


LICZBY RZECZYWISTE
Liczby rzeczywiste to liczby, których używamy do reprezentacji wartości ciągłych (w tym zera i liczb ujemnych). Klasycznym modelem zbioru liczb rzeczywistych jest linia prosta. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczany jest symbolem R.
Pojęcie liczby rzeczywistej obejmuje wszystkie rodzaje liczb używane w codziennej praktyce – liczby naturalne, całkowite, ułamki, liczby ujemne, pierwiastki...
Działając na liczbach rzeczywistych, możemy korzystać z pojęć takich jak: liczby przeciwne,liczby odwrotne oraz wartość bezwzględna(moduł)liczby.
Liczby przeciwne są położone na osi symetrycznie względem zera. Np. –2 jest liczbą przeciwną do liczby 2.
Odwrotnością liczby a różnej od zera jest liczba .Np.


23. Napisz liczby przeciwne do liczb: -9, 2 ,-7.5, -0.25, .
24. Zapisz liczby odwrotne do liczb:
25. Podaj wartości bezwzględne liczb: -13,13,-7,7,-12 ,0.

Wartość bezwzględna (moduł) liczby jest to odległość od zera na osi liczbowej. Wartość bezwzględna liczby nie może być liczba ujemną, ponieważ wyraża ona odległość. Wartość bezwzględną liczby a oznaczamy |a|. Np. |-3|=3 – wartość bezwzględna liczby –3 wynosi 3, bo jej odległość na osi liczbowej od zera wynosi 3.



DZIAŁANIA I ICH WŁASNOŚCI

W zbiorze liczb rzeczywistych wykonujemy: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, potęgowanie, dzielenie(z wyjątkiem dzielenia przez 0) i pierwiastkowanie. Wykonując działania na liczbach, można stosować prawa działań usprawniające rachunki.

NAZWA PRAWA PRZYKŁAD ZAPIS SYMBOLICZNY
Przemiennośc dodawania 5+7=7+5 a+b=b+a
Przemiennośc mnożenia 5 6=6 5 ab=ba
Łączność dodawania (5+7)+8=5+(7+8) (a+b)+c=a+(b+c)
Łączność mnożenia (3 4) 5=3 (4 5) (ab) c=a (bc)
Rozdzielność mnożenia względem dodawania (3+7) 8=3 8+7 8 (a+c) b=ab+cb
"0" w dodawaniu 0+5=5+0=5 0+a=a+0=a
"0" w mnożeniu 0 5=5 0=0 0 a=a 0=0
"1" w mnożeniu 1 5=5 1=5 1 a=a 1=a


26.Oblicz, wykorzystując prawa działań.
a. 5+7+9+3+5+1 b.35+27+49+25+23+51
c.2◦9◦7◦5 d.25◦32◦4◦5



Wykonując obliczenia na potęgach i pierwiastkach, warto najpierw przekształcić wyrażenie, a potem obliczać. Wykorzystywanie własności potęg i pierwiastków usprawnia i przyspiesza rachunki. Dla a,b Є R, m,n Є C stosujemy następujące własności:



MNOŻENIE POTĘG O TEJ SAMEJ PODSTAWIE
Przy mnożeniu potęg o tych samych podstawach dodajemy wykładniki, a podstawę pozostawiamy bez zmian. am ◦ an = a m+n
DZIELENIE POTĘG O TEJ SAMEJ PODSTAWIE
Przy dzieleniu potęg o tych samych podstawach wykładniki odejmujemy, a podstawę pozostawiamy bez zmian. am : an = a m-n
POTĘGA POTĘGI
Chcąc podnieść potęgę do potęgi, wykładniki mnozymy, a podstawę pozostawiamy bez zmian. (am)n = a m◦n
POTĘGA ILOCZYNU
Potęga iloczynu jest równa iloczynowi potęg o tym samym wykładniku (a·b)n = an · bn
POTĘGA ILORAZU
Potęga ilorazu jest równa ilorazowi potęg o tych samych wykładnikach.
PIERWIASTEK Z ILOCZYNU
Pierwiastek z iloczynu jest równy iloczynowi pierwiastków tego samego stopnia.
PIERWIASTEK Z ILORAZU
Pierwiastek z ilorazu jest równy ilorazowi pierwiastków tego samego stopnia.
W powyższych wzorach a,b,m,n muszą przyjmować wartości takie, aby wyrażenia miały sens.




Prawa działań na pierwiastkach możemy wykorzystywać do upraszczania postaci niektórych liczb niewymiernych. Możemy: wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka, włączyć czynnik pod znak pierwiastka, usunąć niewymierność z mianownika.

Działania na liczbach wykonujemy według ustalonej kolejności działań:
· najpierw potęgowanie i pierwiastkowanie
· nastepnie mnożenie i dzielenie
· w końcu dodawanie i odejmowanie
Działania w nawiasach maja zawsze pierszeństwo pzed pozostałymi. Jeżeli działania są równorzędne, to wykonujemy je zgodnie z kolejnością zapisu od lewej strony do prawej. Np.
8+8-7=16-7=9;
25-7+9-2=18+9-2=27-2=25;
16:4·8=4·8=32;
5·10:3·6=50:3·6=16 ·6=100