Przykładowe sprawozdanie, Systemi i Procesy Transportowe. Zmienna skokowa i ciągła, średnia, mediana, dominanta.

Politechnika Śląska
Wydział Transportu
Katowice
Rok akademicki 2008/2009

Ćwiczenie laboratoryjne z przedmiotu Systemy i procesy transportowe

SPRAWOZDANIE Z ĆWICZENIA NR 4-5-6

Temat ćwiczenia: PRZYSTOSOWANIE DANYCH POMIAROWYCH NA POTRZEBY WSTĘPNEJ ANALIZY STRUKTURY ZBIOROWOŚCI PRÓBNEJ

Data oddania sprawozdania: …................
Grupa dziekańska
Sekcja laboratoryjna:

Katowice 2008/2009

Cz. 1 Zmienna skokowa

1. ŚREDNIA ARYTMETYCZNA

1.1 Dane indywidualne:
Liczba pojazdów samochodowych przejeżdżających przez przekrój drogi w jednakowych okresach pomiarowych.

Tablica 1.1
0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7
7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
9 9 9 9 9 9 9 10 10 10 10 10 11 11 11 11
11 11 11 11 11 11 11 12 12 12 12 12 12 12 12 12
13 13 13 13 13 13 13 14 14 14 14 14 14 15 15 15
15 15 15 15 15 16 16 16 16 16 16 16 16 17 17 17
17 17 17 17 17 17 18 18 18 18 18 19 19 19 19 20
20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 21 21 21 21 22 22
22 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 24
24 24 25 25 25 25 25 26 26 26 26 26 26 27 27 28
28 28 28 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29
29 29 30 30 30 30 31 31 32 32 32 33 33 34 34 34
34 34 35 35 35 36 37 37 37 38 38 39 40 40 40 -

Źródło: Opracowano na podstawie danych z ćwiczenia 1,2,3

Średnia arytmetyczną nieważoną obliczamy ze wzoru:

gdzie: – średnia próby.
n – liczność (liczebność) próby.

Wstawiając do wzoru dane otrzymujemy:

0+0+0+0+1+1+1+1+1+1+1+1+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+6+6+6+6+6+6+6+6+6+6+7+7+7+7+7+7+7+7+7+7+7+7+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+9+9+9+9+9+9+9+9+9+9+9+9+9+9+9+9+10+10+10+11+11+11+11+11+11+11+11+11+11+11+..........+20+20+20+20+20+20+20+20+20+20+21+21+21+21+22+22+22+22+23+23+23+23+23+23+23+23+23+23+........+35+35+35+36+37+37+37+38+38+39+40+40+40 = 4276
287

4276 : 287 14,9

1.2. Dane pogrupowane:
Liczba pojazdów samochodowych przejeżdżających przez przekrój drogi w jednakowych okresach pomiarowych.
Tablica 1.2
Liczba samochodów xi Liczba spostrzeżeń ni (xi * ni) Liczba samochodów xi Liczba spostrzeżeń ni (xi * ni)

0 4 0 21 4 84
1 8 8 22 3 66
2 13 26 23 14 322
3 13 39 24 3 72
4 14 56 25 5 125
5 11 55 26 6 156
6 11 66 27 2 54
7 12 84 28 4 112
8 15 120 29 15 435
9 18 162 30 4 120
10 5 50 31 2 62
11 11 121 32 3 96
12 9 108 33 2 66
13 7 91 34 5 170
14 6 84 35 3 105
15 8 120 36 1 36
16 8 128 37 3 111
17 9 153 38 2 76
18 5 90 39 1 39
19 4 76 40 3 120
20 11 220
Ogółem 202 1857 Ogółem 85 2327

Źródło: Opracowano na podstawie tablicy 1.1

Średnią arytmetyczną dla danych pogrupowanych obliczamy ze wzoru:

gdzie: k – liczba wierszy szeregu,
ni – liczebności grup, które są wagami.

Wstawiając do wzoru dane otrzymujemy:
0*4+1*8+2*12+3*15+4*12+5*13+6*10+7*12+8*17+9*16+10*3+11*11+12*9+13*8+......+25*5+26*5+27*2+28*4+........+37*3+38*2+39*1+40*3 = 4184
268

14,574184 : 287

1.3. Dane w przedziałach klasowych:
Liczba pojazdów samochodowych przejeżdżających przez przekrój drogi w jednakowych okresach pomiarowych.
Liczba samochodów xi Liczebność ni Środki przedziału Xi ni
0-3 38 1,5 57
4-7 48 5,5 264
8-11 49 9,5 465,5
12-15 30 13,5 405
16-19 26 17,5 455
20-23 32 21,5 688
24-27 16 25,5 408
28-31 25 29,5 737,5
32-35 13 33,5 435,5
36-39 7 37,5 262,5
40-43 3 41,5 124,5
Ogółem 287 X 4302,5
Tablica 1.3
Źródło: Opracowano na podstawie danych z ćwiczenia 1,2,3

Średnią arytmetyczną dla danych w przedziałach klasowych obliczamy ze wzoru:

gdzie: x`i – środkowa wartość przedziału,
ni – liczebności klasy.

Wstawiając do wzoru dane otrzymujemy:

2. DOMINANTA

2.1 Dane indywidualne:
Dla danych indywidualnych nie wyznaczamy dominanty.

2.2 Dane pogrupowane:
Dla wartości pogrupowanych dominantę wyznaczamy za pomocą tablicy
Tablica 2.1
i Liczba pojazdów xi Liczebność ni i Liczba pojazdów xi Liczebność ni
1 0 4 21 20 11
2 1 8 22 21 4
3 2 13 23 22 3
4 3 13 24 23 14
5 4 14 25 24 3
6 5 11 26 25 5
7 6 11 27 26 6
8 7 12 28 27 2
9 8 15 29 28 4
10 9 18 30 29 15
11 10 5
12 11 11 31 30 4
13 12 9 32 31 2
14 13 7 33 32 3
15 14 6 34 33 2
16 15 8 35 34 5
17 16 8 36 35 3
18 17 9 37 36 1
19 18 5 38 37 3
20 19 4 39 38 2

40 39 1
41 40 3
Ogółem 287
Źródło: Opracowano na podstawie tablicy 1.2

Dominanta dla wartości pogrupowanych wynosi 9

2.3 Dane w przedziałach klasowych:
Dla wartości w przedziałach klasowych dominantę wyznaczamy według odpowiedniej tablicy i wzoru.

Tablica 2.2
Liczba pojazdów
¬xi Liczebność
ni
0-6 74
7-13 77
14-20 51
21-27 37
28-34 35
35-41 13
Ogółem: 287

Dominantę dla wartości w przedziałach klasowych obliczamy ze wzoru:

gdzie: x0 – dolna granica klasy najliczniejszej (klasy, w której powinna
znajdować się dominanta)
h – rozpiętość przedziału.
nd – liczebność klasy najliczniejszej,
nd-1 – liczebność klasy poprzedzającej najliczniejszą,
nd+1 – liczebność klasy następującej najliczniejszą.

Dominanta dla danych w przedziałach klasowych wynosi 6,62

3. MEDIANA

3.1 Dane indywidualne:
Medianę wyznaczamy na podstawie tablicy pomocniczej.
Tablica 3.1
0
(1) 0
(2) 0
(3) 0
(4) 1
(5) 1
(6) 1
(7) 1
(8) 1
(9) 1
(10) 1
(11) 1
(12) 2
(13) 2
(14) 2
(15) 2
(16) 2
(17)
2
(18) 2
(19) 2
(20) 2
(21) 2
(22) 2
(23) 2
(24) 2
(25) 3
(26) 3
(27) 3
(28) 3
(29) 3
(30) 3
(31) 3
(32) 3
(33) 3
(34)
3
(35) 3
(36) 3
(37) 3
(38) 4
(39) 4
(40) 4
(41) 4
(42) 4
(43) 4
(44) 4
(45) 4
(46) 4
(47) 4
(48) 4
(49) 4
(50) 4
(51)
4
(52) 5
(53) 5
(54) 5
(55) 5
(56) 5
(57) 5
(58) 5
(59) 5
(60) 5
(61) 5
(62) 5
(63) 6
(64) 6
(65) 6
(66) 6
(67) 6
(68)
6
(69) 6
(70) 6
(71) 6
(72) 6
(73) 6
(74) 7
(75) 7
(76) 7
(77) 7
(78) 7
(79) 7
(80) 7
(81) 7
(82) 7
(83) 7
(84) 7
(85)
7
(86) 8
(87) 8
(88) 8
(89) 8
(90) 8
(91) 8
(92) 8
(93) 8
(94) 8
(95) 8
(96) 8
(97) 8
(98) 8
(99) 8
(100) 8
(101) 9
(102)
9
(103) 9
(104) 9
(105) 9
(106) 9
(107) 9
(108) 9
(109) 9
(110) 9
(111) 9
(112) 9
(113) 9
(114) 9
(115) 9
(116) 9
(117) 9
(118) 9
(119)
10
(121) 10
(122) 10
(123) 10
(124) 10
(125) 11
(126) 11
(127) 11
(128) 11
(129) 11
(130) 11
(131) 11
(132) 11
(133) 11
(134) 11
(135) 11
(136) 12
(137)
12
(138) 12
(139) 12
(140) 12
(141) 12
(142) 12
(143) 12
(144) 12
(145) 13 13 13 13 13 13 14 14 14
14 15 15 15 15 15 15 15 15 16 16 16 16 16 16 16 17
17 17 17 17 17 17 17 17 18 18 18 19 19 19 19 19 20
20 20 20 20 20 20 20 20 20 21 21 21 21 22 22 22 22
23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 24 24 24 25 25 25 25
25 26 26 26 26 26 27 27 28 28 28 28 29 29 29 29 29
29 29 29 29 29 30 30 30 30 31 31 32 32 32 32 33 33
35 35 35 36 37 37 37 38 38
(283) 39
(284) 40
(285) 40
(286) 40
(287)
Źródło: Opracowano na podstawie tablicy 1.1

Należy obliczyć przedziały mediany korzystając ze wzoru:

Wstawiając do wzoru dane liczbowe otrzymujemy: 143,5 < nśr < 144,5
Mediana dla danych indywidualnych wynosi zatem 12.

3.2 Dane pogrupowane:
Medianę wyznaczamy na podstawie tablicy pomocniczej. Tablica 3.2
Liczba pojazdów
xi Liczebność
ni Skumulowana liczba pojazdów
0 4 4
1 8 12
2 13 25
3 13 38
4 14 52
5 11 63
6 11 74
7 12 86
8 15 101
9 18 119
10 5 124
11 11 135
12 9 144
13 7 151
14 6 157
15 8 165
16 8 173
17 9 182
18 5 187
19 4 191
20 11 202
21 4 206
22 3 209
23 14 223
24 3 226
25 5 231
26 6 237
27 2 239
28 4 243
29 15 258
30 4 262
31 2 264
32 3 267
33 2 269
35 5 274
36 3 277
37 4 281
38 2 283
39 1 284
40 3 287
Ogółem 287 X
Medianę poszukuje się za pomocą szeregu skumulowanego. Wartość środkowa znajduje się w grupie, w której liczebności skumulowane przekraczają lub osiągają jej numer kolejny.

Wartość środkową obliczamy ze wzoru:

Wstawiając do wzoru dane liczbowe otrzymujemy:

Zatem wartość środkowej jednostki wynosi 144 i znajduje się przy xi=12
Mediana dla danych pogrupowanych wynosi 12.

3.3 Dane w przedziałach klasowych:
Medianę wyznaczamy na podstawie tablicy pomocniczej i za pomocą metody rachunkowej.

Tablica 3.3
Liczba pojazdów
¬xi Liczebność
ni Skumulowana liczebność pojazdów
0-6 74 74
7-13 77 151
14-20 51 202
21-27 37 239
28-34 35 274
35-41 13 287
Ogółem: 287 X
Źródło: Opracowano na podstawie tablicy 2.2

Najpierw należy określić przedział mediany ze wzoru:

Podstawiając do wzoru dane liczbowe otrzymujemy że przedział mediany to ( 7 – 13 )
Następnie obliczamy medianę ze wzoru:

gdzie: xo – dolna granica przedziału mediany,
n – suma liczebności wszystkich przedziałów klasowych,
nsk – suma liczebności wszystkich przedziałów klasowych poprzedzających przedział mediany,
h – rozpiętość przedziału mediany,
nm – liczebność przedziału mediany

Po podstawieniu danych do wzoru otrzymujemy:

Mediana dla danych w przedziałach klasowych wynosi 12,45

4. WARIANCJA

4.1 Dane indywidualne:
W celu obliczenia wariancji dla danych indywidualnych korzystamy ze wzoru:

lub

gdzie: Xi - – jest odchyleniem poszczególnych wartości od średniej
arytmetycznej,

Podstawiając dane liczbowe do wzoru otrzymujemy:
( 0 – 14,9 ) 2 + ( 0 – 14,9 ) 2 +( 0 – 14,9 ) 2 +( 0 – 14,9 ) 2 +( 1– 14,9 ) 2 +( 1- 14,9 ) 2 +
( 1– 14,9 ) 2 +( 1– 14,9 ) 2 +( 1– 14,9 ) 2 +( 1– 14,9 ) 2 +( 1– 14,9 ) 2 +( 1– 14,9 ) 2 +( 2– 14,9 ) 2 +( 2– 14,9 ) 2 +( 2– 14,9 ) 2 +( 2– 14,9 ) 2 +( 2– 14,9 ) 2 +( 2– 14,9 ) 2 +( 2– 14,9 ) 2 +( 2– 14,9 ) 2 +( 2– 14,9 ) 2 +( 2– 14,9 ) 2 +( 2– 14,9 ) 2 +( 2– 14,9 ) 2 +( 3– 14,9 ) 2 +( 3– 14,9 ) 2 +( 3– 14,9 ) 2 +( 3– 14,9 ) 2 +( 3– 14,9 ) 2 +( 3– 14,9 ) 2 +( 3– 14,9 ) 2 +.........( 10– 14,9 ) 2 +( 10– 14,9 ) 2 +( 10– 14,9 ) 2 +( 11– 14,9 ) 2 +( 11– 14,9 ) 2 +( 11– 14,9 ) 2+( 11– 14,9 ) 2+( 11– 14,9 ) 2+( 11– 14,9 ) 2+( 11– 14,9 ) 2+( 11– 14,9 ) 2+( 11– 14,9 ) 2+( 11– 14,9 ) 2+( 11– 14,9 ) 2+.....+
( 24– 14,9 ) 2+( 24– 14,9 ) 2+( 24– 14,9 ) 2+......+ +(39– 14,9 ) 2+(40-14,9 ) 2+
(40– 14,9 ) 2+(40– 14,9 ) 2
287

108,39s2(x)= 31109,67 : 287

Wariancja dla danych indywidualnych wynosi 108,39

4.2 Dane pogrupowane:
W celu obliczenia wariancji dla danych pogrupowanych należy utworzyć tabelę pomocniczą.
Tablica 4.1
Liczba pojazdów xi Liczebność
ni (Xi- )
¬(Xi- )¬¬¬¬¬2
(Xi- )¬¬¬¬¬2 ni

0 4 -14,57 212,2849 849,1396
1 8 -13,57 184,1449 1473,1592
2 13 -12,57 158,0049 2054,0637
3 13 -11,57 133,8649 1740,2437
4 14 -10,57 111,7249 1564,1486
5 11 -9,57 91,5849 1007,4339
6 11 -8,57 73,4449 807,8939
7 12 -7,57 57,3049 687,6588
8 15 -6,57 43,1649 647,4735
9 18 -5,57 31,0249 558,4482
10 5 -4,57 20,8849 104,4245
11 11 -3,57 12,7449 140,1939
12 9 -2,57 6,6049 59,4441
13 7 -1,57 2,4649 17,2543
14 6 -0,57 0,3249 1,9494
15 8 0,43 0,1849 1,4792
16 8 1,43 2,0449 16,3592
17 9 2,43 5,9049 53,1441
18 5 3,43 11,7649 58,8245
19 4 4,43 19,6249 78,4996
20 11 5,43 29,4849 324,3339
21 4 6,43 41,3449 165,3796
22 3 7,43 55,2049 165,6147
23 14 8,43 71,0649 994,9086
24 3 9,43 88,9249 266,7747
25 5 10,43 108,7849 543,9245
26 6 11,43 130,6449 783,8694
27 2 12,43 154,5049 309,0098
28 4 13,43 180,3649 721,4596
29 15 14,43 208,2249 3123,3735
30 4 15,43 238,0849 952,3396
31 2 16,43 269,9449 539,8898
32 3 17,43 303,8049 911,4147
33 2 18,43 339,6649 679,3298
34 5 19,43 377,5249 1887,6245
35 3 20,43 417,3849 1252,1547
36 1 21,43 459,2449 459,2449
37 3 22,43 503,1049 1509,3147
38 2 23,43 548,9649 1097,9298
39 1 24,43 596,8249 596,8249
40 3 25,43 646,6849 1940,0547
Ogółem 287 X x 31146,0063
Źródło: Obliczono na podstawie tablicy 2.2
Wzór na wyliczenie wariancji dla danych pogrupowanych ma postać:

gdzie: ni – liczebność grup lub klas,
– średnia arytmetyczna,

Podstawiając do wzory dane liczbowe otrzymujemy:
( 0 – 14,9 ) 2 * 4 + ( 1– 14,9 ) 2 * 8 + ( 2– 14,9 ) 2 * 12 + ( 3– 14,9 ) 2 * 15 + ( 4– 14,9 ) 2 * 12 + ( 5– 14,9 ) 2 * 13 + ( 6– 14,9 ) 2 * 10 + ( 7– 14,9 ) * 12 + ( 8– 14,9 ) 2 * 17 + ..... + (24 – 14,9 ) 2 * 3 + ( 25– 14,9 ) 2 * 5 + (26 – 14,9 ) 2 * 5 + (38 – 14,9 ) 2 * 2 + (39 – 14,9 ) 2 * 1 + (40 – 14,9 ) 2 * 3 = 31146,0063
287

108,52s2(x)= 31146,0063 : 287

Wariancja dla danych pogrupowanych wynosi 108,52

4.3 Dane w przedziałach klasowych:
W celu obliczenia wariancji dla w przedziałach klasowych należy utworzyć tabelę pomocniczą.
Liczba pojazdów
xi Liczebność pojazdów
ni x’i (x’i- )
(x’i- )2
(x’i- )2 ni

0-6 74 3 -11,9 141,61 10479,14
7-13 77 10 -4,9 24,01 1848,77
14-20 51 17 2,1 4,41 224,91
21 27 37 24 9,1 82,81 3063,97
28-34 35 31 16,1 259,21 9072,35
35-41 13 38 23,1 533,61 6936,93

Ogółem 287 x x x 31626,07
Tablica 4.2

Źródło: Opracowano na podstawie tablicy 3.3

Wzór na wyliczenie wariancji dla danych pogrupowanych ma postać:

gdzie: ni – liczebność grup lub klas,
– średnia arytmetyczna,

Podstawiając do wzory dane liczbowe otrzymujemy:
141,61*74 + 24,01*77 + 4,41*51 +82,81*37 +259,21*35 + 533,61*13 = 31626,07
287

s2(x)= 31626,07 : 2110,1987

Wariancja dla danych w przedziałach klasowych wynosi 110,19

5. ODCHYLENIE STANDARDOWE

5.1 Dane indywidualne:
W celu obliczenie wartości odchylenia standardowego stosujemy wzór:

Po podstawieniu danych do wzoru otrzymujemy:

s2(x)= 108,39
10,41s(x)

Odchylenie standardowe dla danych indywidualnych wynosi 10,41

5.2 Dane pogrupowane:
W celu obliczenie wartości odchylenia standardowego stosujemy wzór:

Po podstawieniu danych do wzoru otrzymujemy:
s2(x)= 108,52
10,41s(x)
Odchylenie standardowe dla danych pogrupowanych wynosi 10,41

5.3 Dane w przedziałach klasowych:
W celu obliczenie wartości odchylenia standardowego stosujemy wzór:

Po podstawieniu danych do wzoru otrzymujemy:
s2(x)= 110,19
10,49s(x)

Odchylenie standardowe dla danych w przedziałach klasowych wynosi 10,49

6. WSPÓŁCZYNNIK ZMIENNOŚCI

6.1 Dane indywidualne:
Współczynnik zmienności obliczamy podstawiając wcześniej obliczone dane do wzoru:

69,86Vz(x)

Współczynnik zmienności dla danych indywidualnych wynosi 69,86

6.2 Dane pogrupowane:
Współczynnik zmienności obliczamy podstawiając wcześniej obliczone dane do wzoru:

71,44Vz(x)

Współczynnik zmienności dla danych pogrupowanych wynosi 71,44

6.3 Dane w przedziałach klasowych:
Współczynnik zmienności obliczamy podstawiając wcześniej obliczone dane do wzoru:

70,4Vz(x)

Współczynnik zmienności dla danych w przedziałach klasowych wynosi 70,4

7. WSPÓŁCZYNNIK SKOŚNOŚCI

7.1 Dane indywidualne:
Współczynnika skośności dla danych indywidualnych nie oblicza się.

7.2 Dane pogrupowane:
Współczynnik skośności obliczamy podstawiając wcześniej otrzymane dane do wzoru:

0,53wsk

Współczynnik skośności dla danych pogrupowanych wynosi 0,53

7.3 Dane w przedziałach klasowych:
Współczynnik skośności obliczamy podstawiając wcześniej otrzymane dane do wzoru:

0,78wsk

Współczynnik skośności dla danych w przedziałach klasowych wynosi 0,78

Cz. 2 Zmienna ciągła

1. ŚREDNIA ARYTMETYCZNA

1.1 Dane indywidualne:
Wartości odstępów czasowych między samochodami na drodze lokalnej zamiejskiej.
Tablica 1.1
0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4
4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 8
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
8 8 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
9 9 9 9 9 10 10 10 10 10 11 11 11 11 11 11
11 11 11 11 11 12 12 12 12 12 12 12 12 12 13 13
13 13 13 13 13 13 14 14 14 14 14 14 15 15 15 15
15 15 15 15 16 16 16 16 16 16 16 16 17 17 17 17
17 17 17 17 17 18 18 18 18 18 18 19 19 19 19 19
20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20
20 21 21 21 21 22 22 22 22 23 23 23 23 23 23 23
23 23 23 24 24 24 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25
25 26 26 26 26 26 26 27 27 28 28 28 28 29 29 29
29 29 29 29 29 29 29 30 30 30 30 31 31 32 32 32
32 33 33 35 35 35 36 37 37 37 38 38 39 40 40 40

Źródło: Opracowano na podstawie danych z ćwiczenia 1,2,3

Średnia arytmetyczną nieważoną obliczamy ze wzoru:

gdzie: – średnia próby.
n – liczność (liczebność) próby.

Wstawiając do wzoru dane otrzymujemy:
0+0+0+0+1+1+1+1+1+1+1+1+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+6+6+6+6+6+6+6+6+6+6+6+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+9+9+9+9+9+9+9+9+9+9+9+9+9+9+9+9+9+....+21+21+21+22+22+22+22+23+23+23+23+23+23+23+23+23+24+24+24+...+38+38+39+40+40+40 = 4234
288

14,74234 : 288

Średnia arytmetyczna danych indywidualnych wynosi 14,7

1.2 Wariant I:
Tablica 1.2
Wartości odstępów czasowych xi Liczebność
ni x’i x’i* ni
0-6 67 3 201
6-12 66 9 594
12-18 48 15 720
18-24 46 21 966
24-30 36 27 972
30-36 15 33 495
36-41 10 39 390
Ogółem 288 x 4338
Źródło: Opracowano na podstawie danych z ćwiczenia 1,2,3

Średnią arytmetyczną dla danych w przedziałach klasowych obliczamy ze wzoru:

gdzie: x`i – środkowa wartość przedziału,
ni – liczebności klasy.
Wstawiając do wzoru dane otrzymujemy:
67*3 + 66*9 + 48*15 + 46*21 + 36*27 + 15*33 + 10*39 = 4338
288

15,064338 : 288

Średnia arytmetyczna dla danych z wariantu I wynosi 15,06

1.3 Wariant II:
Tablica 1.3
Wartości odstępów czasowych xi Liczebność ni Środki przedziału x’i x’i* ni
0 – 5 54 2,5 135
5 – 10 63 7,5 472,5
10 – 15 39 12,5 487,5
15 – 20 36 17,5 630
20 – 25 38 22,5 855
25 - 30 33 27,5 907,5
30 – 35 12 32,5 390
35 - 40 10 37,5 375
40 - 44 3 42 126
Ogółem: 288 X 4378,5

Źródło: Opracowano na podstawie danych z ćwiczenia 1,2,3

Średnią arytmetyczną dla danych w przedziałach klasowych obliczamy ze wzoru:

gdzie: x`i – środkowa wartość przedziału,
ni – liczebności klasy.

Wstawiając do wzoru dane otrzymujemy:
54*2,5 + 63*7,5 + 39*12,5 + 36*17,5 + 38*22,5 + 33*27,5 + 12*32,5 + 10*37,5 + 3*42 = 4378,5
288

15,24378,5 : 288

Średnia arytmetyczna dla danych z wariantu II wynosi 15,2.

2. DOMINANTA

2.1 Dane indywidualne:
Dla danych indywidualnych nie wyznaczamy dominanty.

2.2 Wariant I:
Dla wartości w przedziałach klasowych dominantę wyznaczamy według odpowiedniej tablicy i wzoru.
Tablica 2.1
Wartości odstępów czasowych xi Liczebność
ni
0-6 67
6-12 66
12-18 48
18-24 46
24-30 36
30-36 15
36-41 10
Ogółem 288
Źródło: Opracowano na podstawie danych z ćwiczenia 1,2,3

Dominantę dla wartości w przedziałach klasowych obliczamy ze wzoru:

gdzie: x0 – dolna granica klasy najliczniejszej (klasy, w której powinna
znajdować się dominanta)
h – rozpiętość przedziału.
nd – liczebność klasy najliczniejszej,
nd-1 – liczebność klasy poprzedzającej najliczniejszą,
nd+1 – liczebność klasy następującej najliczniejszą.

Dominanta dla danego przedziału klasowego wynosi 5,9

2.3 Wariant II:
Dla wartości w przedziałach klasowych dominantę wyznaczamy według odpowiedniej tablicy i wzoru.

Tablica 2.2
Wartości odstępów czasowych xi Liczebność ni
0 – 5 54
5 – 10 63
10 – 15 39
15 – 20 36
20 – 25 38
25 - 30 33
30 – 35 12
35 - 40 10
40 - 44 3
Ogółem: 288
Źródło: Opracowano na podstawie danych z ćwiczenia 1,2,3

Dominantę dla wartości w przedziałach klasowych obliczamy ze wzoru:

gdzie: x0 – dolna granica klasy najliczniejszej (klasy, w której powinna
znajdować się dominanta)
h – rozpiętość przedziału.
nd – liczebność klasy najliczniejszej,
nd-1 – liczebność klasy poprzedzającej najliczniejszą,
nd+1 – liczebność klasy następującej najliczniejszą.

Dominanta dla danego przedziału klasowego wynosi 6,36

3. MEDIANA

3.1 Dane indywidualne:
Medianę wyznaczamy na podstawie tablicy pomocniczej.
Tablica 3.1
0
(1) 0
(2) 0
(3) 0
(4) 1
(5) 1
(6) 1
(7) 1
(8) 1
(9) 1
(10) 1
(11) 1
(12) 2
(13) 2
(14) 2
(15) 2
(16) 2
(17) 2
(18) 2
(19) 2
(20) 2
(21) 2
(22)
2
(23) 2
(24) 2
(25) 3
(26) 3
(27) 3
(28) 3
(29) 3
(30) 3
(31) 3
(32) 3
(33) 3
(34) 3
(35) 3
(36) 3
(37) 3
(38) 3
(39) 3
(40) 4
(41) 4
(42) 4
(43) 4
(44)
4
(45) 4
(46) 4
(47) 4
(48) 4
(49) 4
(50) 4
(51) 4
(52) 4
(53) 4
(54) 5
(55) 5
(56) 5
(57) 5
(58) 5
(59) 5
(60) 5
(61) 5
(62) 5
(63) 5
(64) 5
(65) 5
(66)
5
(67) 6
(68) 6
(69) 6
(70) 6
(71) 6
(72) 6
(73) 6
(74) 6
(75) 6
(76) 6
(77) 6
(78) 6
(79) 8
(80) 8
(81) 8
(82) 8
(83) 8
(84) 8
(85) 8
(86) 8
(87) 8
(88)
8
(89) 8
(90) 8
(91) 8
(92) 8
(93) 8
(94) 8
(95) 8
(96) 8
(97) 8
(98) 9
(99) 9
(100) 9
(101) 9
(102) 9
(103) 9
(104) 9
(105) 9
(106) 9
(107) 9
(108) 9
(109) 9
(110)
9
(111) 9
(112) 9
(113) 9
(114) 9
(115) 9
(116) 9
(117) 10
(118) 10
(119) 10
(120) 10
(121) 10
(122) 11
(123) 11
(124) 11
(125) 11
(126) 11
(127) 11
(128) 11
(129) 11
(130) 11
(131) 11
(132)
11 (133) 11
(134) 12
(135) 12
(136) 12
(137) 12
(138) 12
(139) 12
(140) 12
(141) 12
(142) 12
(143) 13
(144) 13
(145) 13 13 13 13 13 13 14 14 14
14 14 14 14 15 15 15 15 15 15 15 15 16 16 16 16 16 16 16 16 17 17
17 17 17 17 17 17 17 18 18 18 18 18 18 19 19 19 19 19 20 20 20 20
20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 21 21 21 21 22 22 22 22 23
23 23 23 23 23 23 23 23 23 24 24 24 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25
25 26 26 26 26 26 26 27 27 28 28 28 28 29 29 29 29 29 29 29 29 29
29 30 30 30 30 31 31 32 32 32 32 33 33 35 35 35 63 37 37 37 37 38
38 39 40
(286) 40
(287) 40
(288)
Źródło: Opracowano na podstawie tablicy 1.1

Należy obliczyć przedziały mediany korzystając ze wzoru:

144 < nśr < 145

Mediana dla danych indywidualnych wynosi zatem 13.

3.2 Wariant I:
Medianę wyznaczamy na podstawie tablicy pomocniczej i za pomocą metody rachunkowej.

Tablica 3.2
Wartości odstępów czasowych xi Liczebność
ni Skumulowana liczebność wartości odstępów czasowych
0-6 67 67
6-12 66 133
12-18 48 181
18-24 46 227
24-30 36 263
30-36 15 278
36-41 10 288
Ogółem 288 X
Źródło: Opracowano na podstawie tablicy 2.1

Najpierw należy określić przedział mediany ze wzoru:

Podstawiając do wzoru dane liczbowe otrzymujemy że przedział mediany to ( 12 – 18 )
Następnie obliczamy medianę ze wzoru:

gdzie: xo – dolna granica przedziału mediany,
n – suma liczebności wszystkich przedziałów klasowych,
nsk – suma liczebności wszystkich przedziałów klasowych poprzedzających przedział mediany,
h – rozpiętość przedziału mediany,
nm – liczebność przedziału mediany
Po podstawieniu danych do wzoru otrzymujemy:

Mediana dla danego przedziału klasowego wynosi 13,43

3.3 Wariant II:
Medianę wyznaczamy na podstawie tablicy pomocniczej i za pomocą metody rachunkowej.

Tablica 3.3
Wartości odstępów czasowych xi Liczebność ni Skumulowana liczebność wartości odstępów czasowych
0 – 5 54 54
5 – 10 63 117
10 – 15 39 156
15 – 20 36 192
20 – 25 38 230
25 - 30 33 263
30 – 35 12 275
35 - 40 10 285
40 - 44 3 288
Ogółem: 288 X

Źródło: Opracowano na podstawie tablicy 2.1

Najpierw należy określić przedział mediany ze wzoru:

Podstawiając do wzoru dane liczbowe otrzymujemy że przedział mediany to ( 10 – 15 )

Następnie obliczamy medianę ze wzoru:

gdzie: xo – dolna granica przedziału mediany,
n – suma liczebności wszystkich przedziałów klasowych,
nsk – suma liczebności wszystkich przedziałów klasowych poprzedzających przedział mediany,
h – rozpiętość przedziału mediany,
nm – liczebność przedziału mediany
Po podstawieniu danych do wzoru otrzymujemy:

Mediana dla danego przedziału klasowego wynosi 13,52

4. WARIANCJA

4.1 Dane indywidualne:
W celu obliczenia wariancji dla danych indywidualnych korzystamy ze wzoru:

lub

gdzie: Xi - – jest odchyleniem poszczególnych wartości od średniej
arytmetycznej,

Liczba pojazdów xi Liczebność
ni (Xi- )
(Xi- )¬¬¬¬¬2
(Xi- )¬¬¬¬¬2 ni
0 4 -14,7 216,09 864,36
1 8 -13,7 187,69 1501,52
2 13 -12,7 161,29 2096,77
3 15 -11,7 136,89 2053,35
4 14 -10,7 114,49 1602,86
5 13 -9,7 94,09 1223,17
6 12 -8,7 75,69 908,28
7 0 -7,7 59,29 0
8 19 -6,7 44,89 852,91
9 19 -5,7 32,49 617,31
10 5 -4,7 22,09 110,45
11 11 -3,7 13,69 150,59
12 9 -2,7 7,29 65,61
13 8 -1,7 2,89 23,12
14 6 -0,7 0,49 2,94
15 8 0,3 0,09 0,72
16 8 1,3 1,69 13,52
17 9 2,3 5,29 47,61
18 6 3,3 10,89 65,34
19 5 4,3 18,49 92,45
20 17 5,3 28,09 477,53
21 4 6,3 39,69 158,76
22 4 7,3 53,29 213,16
23 10 8,3 68,89 688,9
24 3 9,3 86,49 259,47
25 11 10,3 106,09 1166,99
26 6 11,3 127,69 766,14
27 2 12,3 151,29 302,58
28 4 13,3 176,89 707,56
29 10 14,3 204,49 2044,9
30 4 15,3 234,09 936,36
31 2 16,3 265,69 531,38
32 4 17,3 299,29 1197,16
33 2 18,3 334,89 669,78
34 0 19,3 372,49 0
35 3 20,3 412,09 1236,27
36 1 21,3 453,69 453,69
37 3 22,3 497,29 1491,87
38 2 23,3 542,89 1085,78
39 1 24,3 590,49 590,49
40 3 25,3 640,09 1920,27
Ogółem 288 X x 29191,92

Podstawiając dane liczbowe do wzoru otrzymujemy:

( 0 – 14,7)2 + ( 0 – 14,7)2 +( 0 – 14,7)2 +( 0 – 14,7)2 + ( 1 – 14,7)2 + ( 1 – 14,7)2 +
( 1 – 14,7)2 +( 1 – 14,7)2 +( 1 – 14,7)2 +( 1 – 14,7)2 +( 1 – 14,7)2 +( 1 – 14,7)2 +
( 2 – 14,7)2 + ( 2 – 14,7)2 +( 2 – 14,7)2 + ( 2 – 14,7)2 +( 2 – 14,7)2 +( 2 – 14,7)2 +( 2 – 14,7)2 +( 2 – 14,7)2 +( 2 – 14,7)2 +( 2 – 14,7)2 +… +( 32 – 14,7)2 + ( 32 – 14,7)2 + ( 32 – 14,7)2 + ( 32 – 14,7)2 + (33 – 14,7)2 + (33 – 14,7)2 + ( 35 – 14,7)2 + ( 35 – 14,7)2 + ( 35 – 14,7)2 + ( 36 – 14,7)2 + ( 37 – 14,7)2 +( 37 – 14,7)2 +( 37 – 14,7)2 +( 38 – 14,7)2 +( 38 – 14,7)2 +( 39 – 14,7)2 +( 40 – 14,7)2 +( 40 – 14,7)2 +( 40 – 14,7)2 =29191,92
288

s2 (x) = 101,3629191,92 : 288

Wariancja dla danych indywidualnych wynosi 101,36

4.2 Wariant I:
W celu obliczenia wariancji dla danych w przedziałach klasowych należy utworzyć tabelę pomocniczą.
Wartości odstępów czasowych
xi Liczebność
ni x’i (x’i- )
(x’i- )2
(x’i- )2 ni

0-6 67 3 -12,06 145,4436 9744,7212
06 12 66 9 -6,06 36,7236 2423,7576
12 18 48 15 -0,06 0,0036 0,1728
18-24 46 21 5,94 35,2836 1623,0456
24-30 36 27 11,94 142,5636 5132,2896
30-36 15 33 17,94 321,8436 4827,654
36-41 10 39 23,94 573,1236 5731,236
Ogółem 288 x X X 29482,877

Tablica 4.1
Źródło: Opracowano na podstawie tablicy 3.2

Wzór na wyliczenie wariancji dla danych pogrupowanych ma postać:

gdzie: ni – liczebność grup lub klas,
– średnia arytmetyczna,

Podstawiając do wzory dane liczbowe otrzymujemy:
145,44*67 + 36,72*66 + 0,0036*48 + 35,28*46 + 142,56*36 + 321,84*15 + 573,12*10 = 29482,87
288

s2(x) = 29482,87 : 288 102,37
Wariancja dla danego przedziału klasowego wynosi 102,37
4.3 Wariant II:
W celu obliczenia wariancji dla danych pogrupowanych należy utworzyć tabelę pomocniczą.

Tablica 4.2
Wartości odstępów czasowych xi Liczebność
ni x’i (x’i- )
(x’i- )2
(x’i- )2 ni

0 – 5 54 2,5 -12,7 161,29 8709,66
5 – 10 63 7,5 -7,7 59,29 3735,27
10 – 15 39 12,5 -2,7 7,29 284,31
15 – 20 36 17,5 2,3 5,29 190,44
20 – 25 38 22,5 7,3 53,29 2025,02
25 - 30 33 27,5 12,3 151,29 4992,57
30 – 35 12 32,5 17,3 299,29 3591,48
35 - 40 10 37,5 22,3 497,29 4972,9
40 - 44 3 42 26,8 718,24 2154,72
Ogółem: 288 X X X 30656,37
Źródło: Opracowano na podstawie tablicy 3.3

Wzór na wyliczenie wariancji dla danych pogrupowanych ma postać:

gdzie: ni – liczebność grup lub klas,
– średnia arytmetyczna,

Podstawiając do wzory dane liczbowe otrzymujemy:
161,29*54 + 59,29*63 + 7,29*39 + 5,29*36 + 53,29*38 + 151,29*33 + 299,29*12 + 497,29*10 + 718,24*3 = 30656,37
288

106,44s2(x) = 30656,37 : 288

Wariancja dla danego przedziału klasowego wynosi 106,44

5. ODCHYLENIE STANDARDOWE

5.1 Dane indywidualne:
W celu obliczenie wartości odchylenia standardowego stosujemy wzór:

Po podstawieniu danych do wzoru otrzymujemy:

101,36s2(x)
10,06s(x)

Odchylenie standardowe dla danych indywidualnych wynosi 10,06

5.2 Wariant I:
W celu obliczenie wartości odchylenia standardowego stosujemy wzór:

Po podstawieniu danych do wzoru otrzymujemy:
s2(x)= 102,37
10,11s(x)

Odchylenie standardowe dla danego w przedziału klasowego wynosi 10,11

5.3 Wariant II:
W celu obliczenie wartości odchylenia standardowego stosujemy wzór:

Po podstawieniu danych do wzoru otrzymujemy:
s2(x)= 106,44
10,31s(x)

Odchylenie standardowe dla danego w przedziału klasowego wynosi 10,31

6. WSPÓŁCZYNNIK ZMIENNOŚCI

6.1 Dane indywidualne:
Współczynnik zmienności obliczamy podstawiając wcześniej obliczone dane do wzoru:

68,4Vz(x)

Współczynnik zmienności dla danych indywidualnych wynosi 68,4

6.2 Wariant I:
Współczynnik zmienności obliczamy podstawiając wcześniej obliczone dane do wzoru:

67,13Vz(x)

Współczynnik zmienności dla danego przedziału klasowego wynosi 67,13

6.3 Wariant II:
Współczynnik zmienności obliczamy podstawiając wcześniej obliczone dane do wzoru:

67,82Vz(x)

Współczynnik zmienności dla danego przedziału klasowego wynosi 67,82

7. WSPÓŁCZYNNIK SKOŚNOŚCI

7.1 Dane indywidualne:
Współczynnika skośności dla danych indywidualnych nie oblicza się.

7.2 Wariant I:
Współczynnik skośności obliczamy podstawiając wcześniej otrzymane dane do wzoru:

0,90wsk

Współczynnik skośności dla danego przedziału klasowego wynosi 0,90

7.3 Wariant II:
Współczynnik skośności obliczamy podstawiając wcześniej otrzymane dane do wzoru:

0,85wsk
Współczynnik skośności dla danego przedziału klasowego wynosi 0,85

ZESTAWIENIE WYNIKÓW OBLICZEŃ CHARAKTERYSTYK STATYSTYCZNYCH
ZBIORU DANYCH
Tablica 5
L.p. Nazwa charakterystyki Wartości zmiennej
skokowej ciągłej
indywi-dualne pogrupo-wane w przedział. klasowych indywi-dualne w przedziałach klasowych
wariant I wariant II
1. średnia arytmetyczna
14,9 14,57 14,99 14,7 15,06 15,2
2. dominanta D(x) -------- 9 6,62 --------- 5,9 6,36
3. mediana M(x) 12 12 12,45 13 13,53 13,42
4. wariancja s2(x) 108,39 108,52 110,19 101,36 102,37 106,44
5. odchylenie standardowe s(x) 10,41 10,41 10,49 10,06 10,11 10,31
6. współczynnik zmienności VZ(x) 69,86 71,44 69,77 68,4 67,13 67,82
7. współczynnik
skośności wsk ------- 0,53 0,74 -------- 0,90 0,85

Wnioski:
1. Jedną z najdokładniejszych form obliczania średniej arytmetycznej jest sposób wyznaczania ich na podstawie danych indywidualnych, gdzie wynik jest najbardziej dokładny. W razie większej ilości danych istnieje sposób pomiaru dla danych pogrupowanych i ujętych w przedziału klasowe, jednak wartości te mogą od siebie odbiegać.
2. W celu obliczenia dominanty, należy dane pogrupować lub ująć je w przedziały klasowe. Nie ma możliwości obliczenia dominanty dla wartości indywidualnych.
3. Dla zmiennej skokowej, wartości mediany są równe dla danych indywidualnych i pogrupowanych. Dla danych indywidualnych można wyznaczyć jej położenie w ciągu liczb. W celu wyznaczenia mediany dla danych pogrupowanych i danych w przedziałach klasowych należy odpowiednie dane wstawić do wzoru.
4. Najdokładniejszą formą obliczenia odchylenia standardowego jest jego pomiar dla wartości indywidualnych i pogrupowanych. W przypadku danych w przedziałach klasowych wartości trochę odbiegają gdyż w obliczeniach przyjęto środki przedziałów.
5. Współczynnik zmienności pozwala nam zauważyć średnia zróżnicowanie czasu.
6. Współczynnik skośności dla wszystkich pomiarów ma wartość dodatnią więc wykres będzie miał dłuższe prawe ramię.

P.S. Jak to u mnie w zwyczaju w załączniku idealnie sformatowana praca ;)