Całki (ściąga na podstawie wzorów)

Def. całki nieoznaczonej i jej własności: Tw. Jeżeli F(x) jest funkcją pierwotną dla f(x), xє<a,b>, to G(x)=F(x)+c jest również funkcją pierwotną dla f(x), c є R. Def. Całką nieoznaczoną z funkcji f(x) nazywamy rodzinę jej funkcji pierwotnych (różniących się tylko o stałą) i oznaczamy ʃ f(x)dx, ʃf (x)dx=F(x)+cF ‘(x)=f(x) Własności: Tw. Niech f,g są całkowalne w <a,b> to: [1.] ʃ (f(x)+g(x))dx= ʃ f(x)dx+ ʃg(x)dx [2.] ʃ  f(x)dx=  ʃ f(x)dx;  є R [3.] ʃ [f ‘(x)/f(x)]*dx= ln|f(x)|+c Tw. o całkowaniu: przez części: Niech funkcje: u,v є c^1 <a,b> f є c^n <a,b> to ʃ u(x)*v(x)dx=u(x)*v(x)-ʃ u’(x)* v(x)dx Dowód: (u(x)*v(x));= u’(x)* v(x)+ u(x)* v’(x) || u(x)*v’(x)=(u(x)*v(x))’- u’(x)*v(x) || ʃ u(x)*v’(x)dx=ʃ (u(x)*v(x))’dx- ʃu’(x)*v(x)dx= u(x)*v(x)- ʃ u’(x)*v(x) Przez podstawienie: Niech f(u), u є <,> || u=g(x) || g є c^1 <,> to ʃ f(g(x))= g’(x)dx= ʃ f(u)du

Zastosowanie całki oznaczonej: a) D:{ a  x  b; g(x)  y  f(x) || D= ʃ {b,a} (f(x)-g(x))dx b) długość łuku krzywej K:{y=f(x); x є <a,b> || f є c^1 <a,b> || lk= ʃ {b,a} [1+(f ’(x))^2]dx c) objętość bryły obrotowej K:{y=f(x); a  x b || V= ʃ {b,a} (f(x))^2 dx d)pole pow. bryły obrotowej: P= 2 ʃ {b,a} |f(x)|*[1+f ’(x)^2]dx Postać trygonometryczna liczby zespolonej: Liczbę z=a+bi możemy przedstawić w postaci z=|z|*(cosy+ i siny) którą nazywamy postacią trygonometryczną liczby zespolonej z=a+bi= [a^2+b^2]*(a/[a^2+b^2] + b/[a^2+b^2]*i)= |z|*(cosy+siny*i) Potęgowanie liczb zespolonych: z=|z|*(cosy+i*siny) || z^n= |z|^n*(cos(n*y)+i*sin(n*y)) Pierwiastkowanie liczb zespolonych nz= ww^n=z || z=|z|(cosy+ i*siny) || w=|w|*(cos+i*sin) || w^n*(cos n+i*sin n*)= |z|*(cosy+i*siny) Dwie liczby zespolone w postaci trygonometrycznej są sobie równe  |w|^n= |z|  n= y+ 2k; k є c || |w|= n|z|; = [y+ 2k]/n stąd nz=n[|z|]*(cos[(y+ 2k)/n]+ i*sin[(y+2k)/n]) Liczba zespolona ma dokładnie n*n , wszystkie różne pierwiastki nz znajdziemy ze wzoru nz= n[|z|]*(cos[(y+2k)/n]+ i*sin[(y+2k)/n]) przyjmując za k=0, 1, 2, ..., (n-1).

Dodaj swoją odpowiedź