Oznaczmy trzeci bok tego trójkąta jako x i zastosujmy wzór Herona na pole trójkąta: [latex]P=sqrt{p(p-5)(p-10)(p-x)}[/latex] gdzie: [latex]p= frac{1}{2}(5+10+x)= frac{1}{2}(15+x) [/latex] tak więc: [latex]P= frac{sqrt{(5+10+x)(5+10-x)(5-10+x)(-5+10+x)}}{4}= frac{sqrt{(15+x)(15-x)(x-5)(x+5)}}{4}=\ \ = frac{sqrt{(225-x^2)(x^2-25)}}{y}= frac{sqrt{-x^4+250x^2-25*225}}{4}\ \ [/latex] Teraz za x^2 podstawmy sobie "a": [latex] frac{sqrt{-a^2+250a-25*225}}{4} [/latex] Pod pierwiastkiem mamy funkcję kwadratową. Zależy nam na największym wyniku (Polu), dlatego wartość tej funkcji pod tym pierwiastkiem musi być największa. Funkcja kwadratowa o współczynniku kierunkowym ujemnym, otrzymuje największą wartość dla p danego wzorem: [latex]p= frac{-b}{2a} [/latex] tak więc: [latex]p= frac{-250}{-2}=125\ [/latex] Czyli wartość naszego pola będzie największe dla a=125. Wiemy natomiast, że nasze a jest równe a=x^2. Dlatego długość naszego boku x: [latex]a=x^2\ 125=x^2\ x_1=5sqrt{5}\ x_2=-5sqrt{5}\[/latex] Oczywiście wynik ujemny pomijamy. Dlatego odpowiedzią jest: [latex]x_1=5sqrt{5}[/latex] Bo dla tej wartości, funkcja znajdująca się pod naszym pierwiastkiem, osiąga maksymalną wartość, a więc pierwiastek z tej wartości będzie największy, więc pole też będzie największe. Koniec :)
Rozważamy wszystkie trójkąty, których dwa boki mają długość 5 i 10. Wykaż, że spośród takich trójkątów – trójkąt o największym polu ma trzeci bok długości 5 pierwiastków z 5....
