Dany jest prostokątny Δ ABC. Punkt styczności D okręgu wpisanego w Δ dzieli przeciwprostokątną AB na odcinki o długościach AD = 12 i BD = 5, zatem AB =12 + 5 = 17 Niech E oraz F będą pozostałymi punktami styczności okręgu z bokiem AC oraz BC. Mamy zatem AC = AE + r , ale AE = AD = 12 BC = BF + r, ale BF = BD = 5 r - promień okręgu wpisanego. Zatem AC = 12 + r oraz BC = 5 + r Trójkąt jest prostokątny mamy więc (12 + r)² + (5 + r)² = 17² 144 + 24r + r² + 25 + 10r + r² = 289 2r² + 34r +169 -289 = 0 2r² + 34 r - 120 = 0 r² + 17 r - 60 = 0 Δ =17² -4*(-60) = 289 + 240 = 529 √Δ = 23 r1 = [-17 -23]/2 = -40/2 = -20 < 0 - odpada r = r2 = [-17 + 23]/2 = 6/2 = 3 Mamy więc AC = 12 + 3 = 15 BC = 5 + 3 = 8 Odp. Przyprostokątne tego trójkąta mają długości równe 15 oraz 8.
W trójkącie prostokątnym punkt styczności okręgu wpisanego w ten trójkąt dzieli przeciwprostokątną na odcinki długości 5 i 12. Oblicz długość przyprostokątnych trójkąta....
