Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie (x^2-x-2)(x^2+(m-3)x+1)=0 ma cztery różne pierwiastki.

Zauważmy, że równanie [latex](x^2-x-2)(x^2+(m-3)x+1)=0[/latex] możemy zapisać równoważnie jako [latex]x^2-x-2=0 vee x^2+(m-3)x+1=0[/latex]. Aby wyjściowe równanie miało cztery różne pierwiastki rzeczywiste, to: [latex]1)[/latex]Każde z obydwu równań kwadratowych musi mieć dwa różne rozwiązania. [latex]2)[/latex]Rozwiązania pierwszego równania nie mogą być rozwiązaniami drugiego równania. [latex]ad. ,1)[/latex] Zajmiemy się najpierw pierwszym z powyższych równań. Aby miało ono dwa różne pierwiastki rzeczywiste potrzeba i wystarcza aby wyróżnik tego trójmianu kwadratowego był dodatni, zatem: [latex]Delta_1=(-1)^2-4cdot 1 cdot (-2)=1+8=9 extgreater 0[/latex] Wspomniany wyróżnik jest dodatni, obliczmy zatem rozwiązania tegoż równania: [latex]x_1=dfrac{1-3}{2}=(-1)\ x_2=dfrac{1+3}{2}=2\[/latex] Zajmiemy się teraz drugim z równań: [latex]Delta_2=(m-3)^2-4cdot 1cdot 1=m^2-6m+9-4=m^2-6m+5[/latex] Wyznaczymy te wartości parametru [latex]m[/latex], dla których powyższy wyróżnik jest dodatni: [latex]m^2-6m+5 extgreater 0\ Delta=(-6)^2-4cdot 1 cdot 5=36-20=16\ sqrt{Delta}=sqrt{16}=4\ m_1=dfrac{6-4}{2}=1\ m_2=dfrac{6+4}{2}=5\ \ (*)m in (-infty;1) cup (5;infty)[/latex] Pozostaje jeszcze spełnić warunek [latex]2):[/latex] wprowadźmy w tym celu oznaczenie: [latex]w(x)=x^2+(m-3)x+1[/latex] Wyznaczymy te wartości parametru [latex]m[/latex], dla których liczby [latex]-1[/latex] oraz [latex]2[/latex] nie są pierwiastkami wielomianu [latex]w[/latex]: [latex] left { {{w(-1) ot=0} atop {w(2) ot=0}} ight. \ left { {{1+3-m+1 ot=0} atop {4+2m-6+1 ot=0}} ight. \ left { {{5-m ot=0} atop {2m-1 ot=0}} ight. \ left { {{m ot=5} atop {m ot=dfrac{1}{2}}} ight. \ (**)min mathbb{R} ackslash left{dfrac{1}{2};5 ight}[/latex] Pozostaje wyznaczyć te wartości parametru [latex] m [/latex], które spełniają łącznie warunki [latex] (*)[/latex] oraz [latex] (**)[/latex]: [latex]m in left(-infty;dfrac{1}{2} ight) cup left(dfrac{1}{2};1 ight) cup left(5;infty ight)[/latex] Odpowiedź: Równanie [latex](x^2-x-2)(x^2+(m-3)x+1)=0[/latex] ma cztery różne pierwiastki rzeczywiste dla [latex]m in left(-infty;dfrac{1}{2} ight) cup left(dfrac{1}{2};1 ight) cup left(5;infty ight).[/latex]

Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie (m+1)x^4 - (m+1)x^2 +4m =0 ma cztery różne pierwiastki.

Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie (m+1)x^4 - (m+1)x^2 +4m =0 ma cztery różne pierwiastki....

Wyznacz wartości parametru m, dla których równanie: (m+1)x^4-(m+1)x^2+4m=0 ma cztery różne pierwiastki.

Wyznacz wartości parametru m, dla których równanie: (m+1)x^4-(m+1)x^2+4m=0 ma cztery różne pierwiastki....