Wektory liniowo niezależne

Układ wektorów (wi) (skończony lub nie) w przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależnym, gdy każda kombinacja liniowa wektorów tego układu o niezerowych współczynnikach daje wektor niezerowy.

Inaczej: jedyną kombinacją liniową wektorów tego układu, która jest równa wektorowi zerowemu, jest kombinacja, której wszystkie współczynniki są zerami.

Układ wektorów, który nie jest liniowo niezależny nazywamy liniowo zależnym.

Inaczej: układ wektorów jest liniowo zależny, gdy istnieje kombinacja liniowa jego wektorów o nie wszystkich współczynnikach równych zero, równa wektorowi zerowemu.

Przykłady:

* układ wektorów (2,1,0), (-1,3,2), (1,1,1) jest liniowo niezależny, co można sprawdzić rozwiązując równanie x(2,1,0) + y(-1,3,2) + z(1,1,1) = (0,0,0) – jedynym jego rozwiązaniem jest trójka x=0, y=0, z=0.

Takie równanie można zapisać też w następujący sposób:

(2x,x,0) + ( − y,3y,2y) + (z,z,z) = (2x − y + z,x + 3y + z,2y + z) = (0,0,0)

egin{matrix}2x - y + z = 0\ x + 3y + z= 0\ qquad 2y + z = 0end{matrix}

czyli macierzowo:

left(egin{array}{ccc}2 & -1 & 1 \ 1 & 3 & 1 \ 0 & 2 & 1end{array} ight) left(egin{array}{c}x \ y \ zend{array} ight) = left(egin{array}{c}0 \ 0 \ 0end{array} ight)

co sprowadza się do zauważenia, iż jest to jednorodny układ równań, a więc jego rozwiązanie istnieje i możemy zastosować do obliczenia tego układu wzory Cramera. Obliczając rząd macierzy macierzy głównej i korzystając z twierdzenia Croneckera-Cappeliego łatwo dojdziemy do wniosku ile jest wektorów liniowo niezależnych (a nawet które z nich są liniowo niezależne, o ile nie będziemy przestawiać ich w trakcie obliczania rzędu).

Ponieważ rz(AT)=rz(A), to wystarczy obliczyć rząd macierzy macierzy głównej tego równania. A nawet obliczyć wyznacznik

det egin{bmatrix}2 & 1 & 0 \ -1 & 3 & 2 \ 1 & 1 & 1end{bmatrix}

macierzy zbudowanej z tych wektorów wpisanych pionowo, a nawet – jak powyżej – poziomo.