Uklady równań

Układ równań

Układ równań ? koniunkcja pewnej liczby (być może nieskończonej[1]) równań.
Rozwiązaniem układu równań jest każde przyporządkowanie wartości (liczb w przypadku układu równań algebraicznych, funkcji w przypadku układu równań funkcyjnych itd.) niewiadomym, które spełniają każde z równań składowych. Innymi słowy jest to rozwiązaniem układu równań część wspólna zbiorów rozwiązań wszystkich tych równań.
Układ równań nazywa się sprzecznym, jeżeli nie ma on rozwiązań.

Historia

Rozwiązywaniem układów równań zajmowano się już ponad 3000 lat temu. Najstarsze przykłady układów równań pochodzą z glinianych tabliczek, odkrytych podczas wykopalisk archeologicznych na terenie starożytnej Babilonii. Układy te są zapisane pismem klinowym, które w niczym nie przypominają współczesnej symboliki matematycznej. Jednak metody ich rozwiązywania przez starożytnych rachmistrzów niewiele różnią się od metod stosowanych dzisiaj.

Układy równań liniowych

Twierdzenie Kroneckera-Capellego pozwala rozstrzygnąć, czy dany układ równań ma rozwiązanie. W przypadku układu równań oznaczonych, wzory Cramera pozwalają na znalezienie ich.

W przypadku układu dwóch równań liniowych z dwoma niewiadomymi możliwe przypadki pokazuje nizej:

Uklad rownan oznaczony:

- Rozwiązaniem jest dokładnie jedna para liczb (x, y)
- W =/ 0 ( =/ powinno byc na sobie a oznacza to ze nie jest rowne )
- przyklad:
x - y = 4
2x y = 5
- interpretacja graficzna - dwie proste przecinaja sie

Uklad rownan nieoznaczony:

- Nieskonczenie wiele rozwiazan
- W = 0, Wx = Wy = 0 (= oznacza ze jest rowne)
- przyklad:
4x 5y = 2
8x 10y =4
- interpretacja graficzna - dwie proste pokrywaja sie

Uklad rownan sprzeczny:

- Brak rozwiazan
- W = 0. W =/ 0 lub Wy =/ 0
- przyklad:
x y = 2
x y = 5
- interpretacja graficzna - dwie rozne proste rownolegle

KONIEC