liczba -2 jest pierwiastkiem wielomianu W ⇔ W(-2)=0 [latex](-2)^3+6cdot(-2)^2+acdot(-2)+b=0\ \-8+24-2a+b=0\ \-2a+b+16=0 (*)[/latex] reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian (x-3) jest równa 5 ⇔ W(3)=5 [latex]3^3+6cdot3^2+acdot3+b=5\ \27+54+3a+b-5=0\ \3a+b+76=0 (**)[/latex] Na podstawie równań (*) oraz (**) mamy układ równań: [latex] left { {{-2a+b+16=0 /cdot(-1)} atop {3a+b+76=0 }} ight. \ \left { {{2a-b-16=0} atop {3a+b+76=0}} ight. \-------\5a+60=0\5a=-60 /:5\a=-12\ \-2a+b+16=0 Rightarrow b=2a-16\. b=2cdot(-12)-16=-24-16=-40[/latex] wielomian W ma równanie: [latex]W(x)=x^3+6x^2-12x-40=x^3+2x^2+4x^2+8x-20x-40=\ \=x^2(x+2)+4x (x+2)-20(x+2)=(x-2)(x^2+4x-20)\ \wyznaczamy pozostale pierwiastki wielomianu:\ \x^2+4x-20=0 Rightarrow Delta=4^2-4cdot(-20)=96 Rightarrowsqrt{Delta} =4 sqrt{6} \ \x_1= frac{-4-4 sqrt{6} }{2} =-2-2 sqrt{6} otin W\ \ x_2= frac{-4+4 sqrt{6} }{2} =-2+2 sqrt{6} otin W\ \ co nalezalo wykazac.[/latex]
w załącznikach rozwiązanie
Oblicz, dla jakich wartości parametrów a, b liczba (-2) jest pierwiastkiem wielomianu W(x)= x³ + 6x² + ax + b, a reszta z dzielenia tego wielomianu przez x - 3 jest równa 5. Wykaż, że pozostałe dwa pierwiastki wielomianu są niewymierne....
