Witaj. Zadanie 1. [latex]|5+4x-x^{2}|=(k+1)|x-5|\\|x^{2}-4x-5|=(k+1)|x-5|\\|(x-5)(x+1)|=(k+1)|x-5|\\|x-5|cdot|x+1|=(k+1)cdot|x-5|[/latex] Niezależnie od parametru k, zawsze jednym z rozwiązań równania będzie liczba 5. Gdy już to ustaliliśmy, możemy podzielić obustronnie przez |x-5|: [latex]|x+1|=k+1[/latex] Teraz traktujemy lewą stronę jako funkcję i rysujemy jej wykres. Musimy znaleźć parametry k, dla których równanie to ma 2 rozwiązania, które są różne od 5 (ponieważ nie może ono się powtórzyć - wtedy będą 2 rozwiązania). Dla uproszczenia przyjmujemy najpierw, że: [latex]m=k+1\\|x+1|=m[/latex] Rysujemy wykres funkcji: [latex]f(x)=|x+1|[/latex] Wykres funkcji w załączniku. Odczytujemy z niego szukane wartości parametru m: [latex]min(0;+infty) ackslash{6}[/latex] Rozwiązujemy odpowiednie nierówności: [latex]fbox{1} m>0\\k+1>0\\k>-1\\kin(-1;+infty)\\fbox{2} m eq6\\k+1 eq6\\k eq5\\kin R ackslash{5}[/latex] Ostatecznie otrzymujemy więc: [latex]fbox{1} cap fbox{2}\\kin(-1;5) cup (5;+infty)[/latex] Zadanie 2. [latex]|x^{2}-4|=(k^{2}-5)|x-2|\\|(x+2)(x-2)|=(k^{2}-5)|x-2|\\|x+2|cdot|x-2|=(k^{2}-5)cdot|x-2|[/latex] Tutaj podobnie jak wcześniej, mamy od razu jeden pierwiastek, czyli liczbę 2. Jest to jednocześnie jedyne rozwiązanie dodatnie, którego szukaliśmy. Pozostałe 2 muszą być zatem ujemne. Dzielimy teraz przez |x-2|: [latex]|x+2|=k^{2}-5[/latex] Przyjmujemy dla uproszczenia, że: [latex]m=k^{2}-5\\|x+2|=m[/latex] Lewą stronę traktujemy jako funkcję i rysujemy jej wykres: [latex]f(x)=|x+2|[/latex] Wykres funkcji w załączniku. Szukamy prostych y=m, które przetną nasz wykres w 2 punktach o pierwszych współrzędnych ujemnych. Mamy stąd: [latex]min(0;2)[/latex] Rozwiązujemy odpowiednie nierówności: [latex]fbox{1} m>0\\k^{2}-5>0\\(k+sqrt{5})(k-sqrt{5})>0\\kin(-infty;-sqrt{5}) cup (sqrt{5};+infty)[/latex] [latex]fbox{2} m<2\\k^{2}-5<2\\k^{2}-7<0\\(k+sqrt{7})(k-sqrt{7})<0\\kin(-sqrt{7};sqrt{7})[/latex] Otrzymujemy zatem: [latex]fbox{1} cap fbox{2}\\kin(-sqrt{7};-sqrt{5}) cup (sqrt{5};sqrt{7})[/latex]
1. Dla jakich wartości parametru k równanie I5+4x-x²I=(k+1)Ix-5I ma trzy różne rozwiązania? 2. Dla jakich wartości parametru k równanie Ix²-4I=(k²-5)Ix-2I ma trzy rozwiązania, z których jedno jest dodatnie i dwa są ujemne?...
