Zadanie 1. [latex]|5+4x-x^2|=(k+1)cdot|x-5|\\|-(x-5)cdot(x+1)|=(k+1)cdot|x-5|\\|-(x-5)|cdot|x+1|=(k+1)cdot|x-5|\\|x-5|cdot|x+1|=(k+1)cdot|x-5|\\|x-5|cdot|x+1|-(k+1)cdot|x-5|=0\\|x-5|cdotig(|x+1|-(k+1)ig)=0[/latex] W otrzymanym równaniu czynnik [latex]|x-5|[/latex] generuje nam jedno miejsce zerowe, którym jest: [latex]|x-5|=0\x-5=0\x=5[/latex] Drugi czynnik: [latex]|x+1|-(k+1)[/latex] ma nam generować jeszcze dwa inne miejsca zerowe, więc [latex]|x+1|-(k+1)=0\\|x+1|=k+1\\k+1>0qquadRightarrowqquadoxed{k>-1}\\x+1=k+1qquadveeqquad{}x+1=-k-1\\x=kqquadveeqquad{}x=-k-2\\k eq5qquad extrm{oraz}qquad-k-2 eq5\\k eq5qquad extrm{oraz}qquad{}k eq-7[/latex] Odpowiedź: [latex]kin(-1,+infty)ackslash{5}[/latex]. [latex] ule{10cm}{1pt}[/latex] Zadanie 2. [latex]|x^2-4|=(k^2-5)cdot|x-2|\\|(x-2)cdot(x+2)|=(k^2-5)cdot|x-2|\\0=(k^2-5)cdot|x-2|-|x-2|cdot|x+2|\\|x-2|cdot[(k^2-5)-|x+2|]=0[/latex] Pierwszy czynnik [latex]|x-2|[/latex] generuje nam jedno rozwiązanie, mianowicie x=2. Jest to rozwiązanie dodatnie, wobec czego drugi czynnik musi nam generować dwa rozwiązania ujemne: [latex](k^2-5)-|x+2|=0\\k^2-5=|x+2|\\k^2-5>0qquadRightarrowqquad{kin(-infty,-sqrt{5})cup(sqrt{5},+infty)}\\x+2=k^2-5qquadveeqquad{}x+2=5-k^2\\x=k^2-7qquadveeqquad{}x=3-k^2\\k^2-7<0qquad extrm{oraz}qquad-k^2+3<0[/latex] Dostaliśmy trzy warunki: [latex]left{egin{array}{l}k^2-5>0\k^2-7<0\-k^2+3<0end{array} ight.[/latex] Rozwiązujemy każdą z tych trzech nierówności i otrzymujemy przedziały: [latex]left{egin{array}{l}kin(-infty,-sqrt{5})cup(sqrt{5},+infty)\kin(-sqrt{7},sqrt{7})\kin(-infty,-sqrt{3})cup(sqrt{3},+infty)end{array} ight.[/latex] Bierzemy część wspólną tych przedziałów i otrzymujemy odpowiedź: [latex]kin(-sqrt{7},-sqrt{5})cup(sqrt{5},sqrt{7})[/latex]
1. Dla jakich wartości parametru k równanie I5+4x-x²I=(k+1)Ix-5I ma trzy różne rozwiązania? 2. Dla jakich wartości parametru k równanie Ix²-4I=(k²-5)Ix-2I ma trzy rozwiązania, z których jedno jest dodatnie i dwa są ujemne?...
