a)
[latex]left[4 cdot (0,5)^{ sqrt{3} }
ight] ^{2+ sqrt{3} }=left[2^2 cdot left(frac{1}{2}
ight) ^{ sqrt{3} }
ight] ^{2+ sqrt{3} }=[/latex]
[latex]left[2^2 cdot (2^{-1}^{ sqrt{3} }
ight] ^{2+ sqrt{3} }=left[2^2 cdot 2^{-sqrt{3} }
ight] ^{2+ sqrt{3} }=[/latex]
[latex]left[2^{2-sqrt{3} }
ight] ^{2+ sqrt{3} }=2^{(2-sqrt{3})(2+ sqrt{3}) }=[/latex]
[latex]2^{4-3}=2^1=2[/latex]
b)
[latex]frac{ sqrt{5} ^{ sqrt{5} } cdot 5^{ sqrt{5}+1 } }{ 125^{ frac{ sqrt{5} }{2}-1 } }=frac{ (5^{ frac{1}{2} }) ^{ sqrt{5} } cdot 5^{ sqrt{5}+1 } }{ (5^3)^{ frac{ sqrt{5} }{2}-1 } }=[/latex]
[latex]frac{5^{ frac{ sqrt{5}}{2} }cdot 5^{ sqrt{5}+1 } }{5^{ frac{3 sqrt{5} }{2}-1 } }=frac{5^{ frac{ sqrt{5}}{2}+sqrt{5}+1 } }{5^{3( frac{ sqrt{5} }{2}-1)} }=[/latex]
[latex]frac{5^{ frac{ sqrt{5}}{2}+ frac{2sqrt{5}}{2} +1 } }{5^{frac{3 sqrt{5} }{2}-3} }=frac{5^{ frac{3sqrt{5}}{2}+1 } }{5^{frac{3 sqrt{5} }{2}-3} }=[/latex]
[latex]5^{ frac{3sqrt{5}}{2}+1-(frac{3 sqrt{5} }{2}-3)}=5^{ frac{3sqrt{5}}{2}+1-frac{3 sqrt{5} }{2}+3}=5^4=625[/latex]
c)
[latex](0,5)^{ sqrt{5} } cdot 2^{ sqrt{5} + 2sqrt{2} } cdot (0,25)^{ sqrt{2} }=[/latex]
[latex]left( frac{1}{2}
ight) ^{ sqrt{5} } cdot 2^{ sqrt{5} + 2sqrt{2} } cdotleft( frac{1}{4}
ight) ^{ sqrt{2} }=[/latex]
[latex](2^{-1}^{ sqrt{5} } cdot 2^{ sqrt{5} + 2sqrt{2} } cdotleft( frac{1}{2^2}
ight) ^{ sqrt{2} }=[/latex]
[latex]2^{-sqrt{5} } cdot 2^{ sqrt{5} + 2sqrt{2} } cdot(2^{-2})^{ sqrt{2} }=[/latex]
[latex]2^{-sqrt{5} } cdot 2^{ sqrt{5} + 2sqrt{2} } cdot2^{-2sqrt{2} }=[/latex]
[latex]2^{-sqrt{5} +sqrt{5} + 2sqrt{2} -2sqrt{2} }=2^0=1[/latex]
