Znajdź wszystkie pary liczb całkowitych x, y spełniające równanie x^2=2017+144y^2

[latex]x^2=2017+144y^2\ x^2-144y^2=2017\ (x-12y)(x+12y)=2017 [/latex] 2017 jest liczbą pierwszą, zatem: [latex](x-12y=1 wedge x+12y=2017) vee (x-12y=2017 wedge x+12y=1) vee (x-12y=-2017 wedge x+12y=-1) vee (x-12y=-1 wedge x+12y=-2017)[/latex] Z pierwszych dwóch przypadków mamy, że: [latex]2x=2018\ x=1009[/latex] W pierwszym przypadku: [latex]1009+12y=2017\ 12y=1008\ y=84[/latex] W drugim przypadku: [latex]1009+12y=1\ 12y=-1008\ y=-84[/latex] Z drugich dwóch przypadków mamy, że: [latex]2x=-2018\ x=-1009[/latex] Z trzeciego przypadku: [latex]-1009+12y=-1\ 12y=1008\ y=84[/latex] Z czwartego przypadku: [latex]-1009+12y=-2017\ 12y=-1008\ y=-84[/latex] Czyli są cztery pary: 1009 i 84 , 1009 i -84, -1009 i 84, -1009 i -84

x² = 2017 + 144y² Od razu zauważamy, że: x² = 2017 + (12y)² x²-(12y)²=2017 (x-12y)(x+12y) = 2017 2017 jest liczbą pierwszą, zatem zachodzą 4 mozliwosci: 1) (x-12y)=1 (x+12y)=2017 Co nam odpowiednio daje: 2x = 2018 x=1009, czyli : 1009-12y=1, z czego wynika : 12y = 1008 => y =84 2) (x-12y)=2017 (x+12y) = 1 Z czego mamy : 2x = 2018 => x=1009 x-12y = 2017 => 12y = 1009-2017 = -1008 => y=-84 3) (x-12y)=-2017 (x+12y) = -1 Analogicznie: x=-1009, z czego wynika : 12y = -1009+2017 = 1008 => y=84 4) (x-12y)=-1 (x+12y) = -2017 Analogicznie x=-1009, z czego wynika : 12y=-1009+1 = -1008 => y=-84 ROzwiązaniem są 4 pary liczb (x,y): (1009,84), (1009,-84), (-1009,84), (-1009,-84)