(czytając odpowiedź otwórz załącznik do zadania) Gdy ciało znajdowało się na ziemi nadano mu prędkość początkową [latex]v_o[/latex] przy tym rzucając je pod pewnym kątem [latex]alpha[/latex], który jest szukany w naszym zadaniu. Prędkość początkowa ciała jest wypadkową prędkością składowych: prędkości w poziomie [latex]v_{0x}[/latex] i prędkości w pionie [latex]v_{0y}[/latex]. Korzystając z trygonometrii możemy obliczyć, ile te prędkości są równe: [latex]v_{0x} = v_0 cos alpha[/latex] [latex]v_{0y} = v_0 sin alpha[/latex] Ciało lecąc w górę porusza się ruchem jednostajnie opóźnionym z prędkością początkową, drogę (wysokość) w takim ruchu opisuje się równaniem: [latex]h = h_0 + v_0t - frac{gt^2}{2}[/latex] [latex]h_0[/latex], to położenie początkowe ciała. Na samym początku znajdowało się na ziemi, tak więc jego położenie początkowe (wysokość początkowa) jest równa [latex]0[/latex]: [latex]h = 0 + v_0t - frac{gt^2}{2}[/latex] [latex]h = v_0t - frac{gt^2}{2}[/latex] Jak i prędkość początkowa została rozłożona na tą działającą w osi [latex]x[/latex] i [latex]y[/latex], tak też musimy postąpić z drogą (wysokością). W pionie (oś [latex]y[/latex]) działa prędkość początkowa [latex]v_{0y}[/latex] oraz grawitacja, tak więc wysokość w osi [latex]y[/latex] będziemy opisywać równaniem: [latex]h_y = v_{0y}t - frac{gt^2}{2}[/latex] Podstawiając za [latex]v_{0y}[/latex] znaną wartość otrzymamy: [latex]h_y = v_0 sin alpha t - frac{gt^2}{2}[/latex] Tak samo postępujemy z wysokością (zasięgiem rzutu) w osi [latex]x[/latex]. W osi [latex]x[/latex] działa tylko prędkość początkowa [latex]v_{0x}[/latex]: [latex]h_x = v_{0x}t[/latex] Podstawiając za [latex]v_{0x}[/latex]: [latex]h_x = v_0 cos alpha t[/latex] Prędkość w ruchu jednostajnie opóźnionym z prędkością początkową wyraża się wzorem: [latex]v = v_0 - gt[/latex] Jak możesz zauważyć na rysunku składowa prędkości [latex]v_{0y}[/latex] i składowa prędkości [latex]v_y[/latex] różnią się od siebie, tak samo jest z wypadkową prędkością początkową [latex]v_0[/latex] i wypadkową prędkością [latex]v[/latex]. Jest tak, dlatego że działa grawitacja, która zawsze działa w pionie, jej zadaniem jest ściąganie wszystkiego na dół. Aby ściągnąć na ziemię przedmiot lecący w górę najpierw trzeba go spowolnić. Zauważ, że wektor siły grawitacji jest przeciwny do osi [latex]y[/latex], dlatego też prędkość w osi [latex]y[/latex] (prędkość [latex]v_y[/latex]) maleje z czasem. Tak więc dla prędkości [latex]v_y[/latex] otrzymamy równanie: [latex]v_y =v_{0y} - gt[/latex] [latex]v_y = v_0 sin alpha - gt[/latex] Z treści zadania wiemy, że w osi [latex]x[/latex] nie działają żadne siły oporu, ponieważ je pomijamy, a skoro nie działa również grawitacja, to możemy stwierdzić, że składowa prędkości [latex]v_{0x}[/latex] nie zmienia swej wartości, zatem jest równa prędkości [latex]v_x[/latex]: [latex]v_x = v_{0x}[/latex] Nie znamy czasu, po którym ciało osiągnie maksymalną wysokość. Spójrzmy jeszcze raz na rysunek. Widzimy, że składowa prędkości [latex]v_y[/latex] zmniejsza się z czasem. Wynika z tego, że czas, po którym ciało osiągnie maksymalną wysokość będzie wtedy, gdy składowa prędkości [latex]v_y[/latex] będzie równa [latex]0[/latex], podstawiamy: [latex]0 = v_0 sin alpha - gt[/latex] [latex]gt = v_0 sin alpha[/latex] [latex]t = frac{v_0 sin alpha}{g}[/latex] Znając ten czas możemy obliczyć maksymalną wysokość, po prostu podstawiając za [latex]t[/latex] powyższe równanie: [latex]h_y_{(max)} = v_0 sinalpha t - frac{gt^2}{2}[/latex] [latex]h_y_{(max)} = v_0 sin alpha cdot frac{v_0 sin alpha}{g} - frac{g cdot (frac{v_0 sin alpha}{g})^2}{2}[/latex] [latex]h_y_{(max)} = frac{v_0^2 sin^2 alpha}{g} - frac{g cdot frac{v_0^2 sin^2 alpha}{g^2}}{2}[/latex] [latex]h_y_{(max)} = frac{v_0^2 sin^2alpha}{g} - frac{v_0^2 sin^2 alpha}{2g}[/latex] [latex]h_y_{(max)} = frac{2v_0^2 sin^2alpha}{2g} - frac{v_0^2 sin^2 alpha}{2g}[/latex] [latex]h_y_{(max)} = frac{2v_0^2 sin^2alpha - v_0^2 sin^2 alpha}{2g}[/latex] [latex]h_y_{(max)} = frac{v_0^2 sin^2 alpha}{2g}[/latex] Mając obliczoną maksymalną wysokość, możemy obliczyć zasięg rzutu tego ciała. [latex]h_x = v_0cosalpha t[/latex] Za czas [latex]t[/latex] nie podstawimy obliczonej już wartości, ale jej podwojoną wartość, czyli [latex]2t[/latex]. A to, dlatego że lot dzieli się na dwie części: 1) część pierwsza, gdzie lot jest od ziemi (położenia początkowego [latex]h_0[/latex]) do maksymalnej wysokości - [latex]h_y_{(max)}[/latex], 2) część druga, gdzie lot jest od maksymalnej wysokości do ziemi, czyli położenia końcowego [latex]h[/latex]. Załóżmy, że cały lot trwał [latex]10 s[/latex], to połowa (patrz: część pierwsza), trwała [latex]5 s[/latex], a druga połowa też pięć sekund. Obliczony wcześniej czas [latex]t[/latex], to czas połowy lotu tego ciała, stąd cały lot trwa dwa razy tyle, czyli [latex]2t[/latex]: [latex]t = 2 frac{v_0 sin alpha}{g}[/latex] [latex]t = frac{2v_0 sin alpha}{g}[/latex] Tak więc znając czas całego lotu, możemy obliczyć zasięg rzutu: [latex]h_x = v_0 cos {alpha} t[/latex] [latex]h_x = v_0 cos alpha cdot frac{2v_0 sin alpha}{g}[/latex] [latex]h_x = frac{2v_0^2 cos alpha sin alpha}{g}[/latex] Z treści zadania wiemy, że maksymalna wysokość, na jaką wzniosło się ciało jest trzy razy mniejsza od zasięgu rzutu. Tak więc zasięg rzutu to trzykrotność maksymalnej wysokości tego ciała: [latex]h_x = 3h_y_{(max)}[/latex] Podstawiamy: [latex]h_x = frac{2v_0^2 cos alpha sin alpha}{g}[/latex] [latex]h_y_{(max)} = {frac{v_0^2 sin^2 alpha}{2g}}[/latex] [latex]frac{2v_0^2 cos alpha sin alpha}{g} = 3frac{v_0^2 sin^2 alpha}{2g}[/latex] Sprowadzamy trójkę do licznika. Upraszczamy równanie skracając obustronnie przez [latex]g[/latex]: [latex]2v_0^2 cos alpha sin alpha = {frac{3v_0^2 sin^2 alpha}{2}}[/latex] Mnożymy przez [latex]2[/latex]: [latex]4v_0^2 {cosalpha}{sinalpha} = 3v_0^2{sin^2 alpha}[/latex] Skracamy przez [latex]v_0^2[/latex] i [latex]sinalpha[/latex]: [latex]4{cosalpha} = 3{sinalpha}[/latex] Dzielimy przez [latex]sinalpha[/latex] i przez [latex]4[/latex]: [latex]frac{cosalpha}{sinalpha} = frac{3}{4}[/latex] Wykorzystujemy fakt, że [latex]frac{cosalpha}{sinalpha}[/latex] można zapisać, jako [latex]tgalpha[/latex]: [latex]tgalpha = frac{3}{4}[/latex] Odczytujemy z tablic trygonometrycznych kąt dla tangensa o wartości [latex]0,75[/latex] i zadanie zrobione.
Pod jakim kątem do poziomu wyrzucono ciało, jeżeli wiadomo że jego maksymalna wysokość na jaką wzniosło się ciało jest 3 razy mniejsza od zasięgu rzutu ?. Nie uwzględniać oporu powietrza, względem osi X...
