[latex]Dane:[/latex]
[latex]m_1 = 100 kg[/latex]
[latex]m_2 = 60 kg[/latex]
[latex]r = 1 m[/latex]
[latex]f_0 = 0,5 Hz[/latex]
[latex]I = frac{1}{2}mr^2[/latex]
[latex]Szukane:[/latex]
[latex]omega_k, Delta E_k[/latex]
Na początku człowiek stoi na końcu stolika, tak więc moment bezwładności takiego układu będzie sumą momentu bezwładności samego stolika i momentu bezwładności człowieka, którego traktujemy, jako punkt materialny:
[latex]I_0 = I_S + I_C[/latex]
Moment bezwładności dla punktu materialnego opisuje się wzorem:
[latex]I = mr^2[/latex]
W efekcie czego otrzymamy:
[latex]I_0 = frac{1}{2}m_1r^2 + m_2 (frac{r}{2})^2[/latex]
W równaniu jest napisane [latex](frac{r}{2})^2[/latex], dlatego, że człowiek stojąc na krańcu stolika jest oddalony od jego środka o promień tego stolika, czyli połowę średnicy.
Podstawiamy dane i obliczamy początkowy moment bezwładności.
Możemy teraz obliczyć początkową energię kinetyczną układu stolik-człowiek, gdy stał on na końcu stolika. Energię kinetyczną w ruchu po okręgu wyraża się wzorem:
[latex]E_k = frac{I {omega}^2}{2}[/latex]
Nie znamy prędkości kątowej [latex]{omega_0}[/latex]. Prędkość kątową opisuje się wzorem:
[latex]omega = 2pi f[/latex]
W naszym przypadku będzie on wyglądał:
[latex]omega_0 = 2 pi f_0[/latex]
Znając dane obliczamy.
Znając już początkowy moment bezwładności i początkową prędkość kątową, możemy obliczyć jaka była na początku energia kinetyczna, wystarczy podstawić dane do wzoru:
[latex]E_k_0 = frac{I_0 omega_0^2}{2}[/latex]
Następnie człowiek przeszedł na środek stołu. Moment bezwładności układu ponownie będzie sumą momentu bezwładności stolika i człowieka:
[latex]I_k = frac{1}{2}m_1r^2 + m_2 (frac{r}{2})^2[/latex]
Człowiek stojący na środku stolika jest odległy od osi obrotu o [latex]0 m[/latex], tak więc:
[latex]I_k = frac{1}{2}m_1r^2 + m_2 (frac{0}{2})^2[/latex]
[latex]I_k = frac{1}{2}m_1r^2[/latex]
Gdy człowiek przeszedł na środek stolika zwiększyła się częstotliwość obracania (stolik obraca się szybciej). Działa to na tej samej zasadzie, gdy obracamy się na krześle obrotowym i maksymalnie się skulimy, wtedy też zaczniemy obracać się szybciej, mimo że nikogo obok nas nie było, kto mógłby nas popchnąć. Dzieje się tak dlatego, że większość naszej masy jest skupiona w środku osi obrotu krzesła.
Częstotliwość obliczymy korzystając z zasady zachowania momentu pędu. Mówi ona, że początkowy moment pędu [latex]L_0[/latex] równa się końcowemu momentowi pędu [latex]L_k[/latex]:
[latex]L_0 = L_k[/latex]
Moment pędu, to iloczyn momentu bezwładności [latex]I[/latex] i prędkości kątowej [latex]omega[/latex]:
[latex]L = I omega[/latex]
Tak więc:
[latex]I_0 omega_0 = I_k omega_k[/latex]
[latex]omega_0[/latex] wynosi [latex]2 pi f_0[/latex], a [latex]omega_k = 2 pi f_k[/latex] ([latex]f_k[/latex], to częstotliwość końcowa):
[latex]I_0 2 pi f_0 = I_k 2 pi f_k[/latex]
Skracamy [latex]2 pi[/latex] i przekształcamy równanie, by otrzymać wzór na częstotliwość [latex]f_k[/latex]:
[latex]f_k = frac{I_0 f_0}{I_k}[/latex]
Obliczamy ile wynosi końcowa częstotliwość, gdy człowiek stoi na środku stolika i tę częstotliwość podstawiamy do wzoru na końcową prędkość kątową:
[latex]omega_k = 2 pi f_k[/latex]
Znając końcową prędkość kątową możemy obliczyć, jaka była energia kinetyczna na końcu:
[latex]E_k_k = frac{I_k omega_k^2}{2}[/latex]
Podstawiamy dane i mamy obliczoną końcową energię kinetyczną.
Mamy jeszcze policzyć o ile zmieni się energia kinetyczna, gdy człowiek przejdzie z końca stolika do środka. Zmianę energii kinetycznej [latex]Delta E_k[/latex] zapiszemy jako różnicę energii końcowej i energii początkowej:
[latex]Delta E_k = E_k_k - E_k_0[/latex]
Znając dane wystarczy podstawić do wzoru i zadanie zrobione.
