[latex]Dane:[/latex]
[latex]p = -2,5[/latex]
[latex]n = 1,4[/latex]
[latex]r_1 = r_2 = 10 cm = 0,1 m[/latex]
[latex]n_w = 1,33[/latex]
[latex]Szukane:[/latex]
[latex]x, y_{woda}[/latex]
W zadaniu szukamy odległości przedmiotu od soczewki, czyli [latex]x[/latex]. Ten [latex]x[/latex] kryje się we wzorze na równanie soczewki:
[latex]frac{1}{f} = frac{1}{x} + frac{1}{y}[/latex]
[latex]x[/latex], to odległość przedmiotu od soczewki, który musimy obliczyć, a [latex]y[/latex] to odległość obrazu od soczewki.
Wiemy także, że ogniskową soczewki możemy obliczyć ze wzoru:
[latex]frac{1}{f} = (frac{n}{n_{os}} - 1) cdot (frac{1}{r_1} + frac{1}{r_2})[/latex]
[latex]n_{os}[/latex], to współczynnik załamania światła ośrodka, w którym znajduje się soczewka. Jeżeli w zadaniu nie ma napisane, gdzie znajduje się soczewka, to zakładamy, że znajduje się w powietrzu, a współczynnik załamania światła w powietrzu jest równy [latex]1[/latex]:
[latex]n_{os} = 1[/latex]
Tak więc podstawiamy [latex]1[/latex] za [latex]n_{os}[/latex], a za [latex]frac{1}{f}[/latex] sumę odwrotności [latex]x[/latex] i [latex]y[/latex] w efekcie otrzymamy:
[latex]frac{1}{x} + frac{1}{y} = (frac{n}{1} - 1) cdot (frac{1}{r_1} + frac{1}{r_2})[/latex]
[latex]{frac{1}{x}} + {frac{1}{y}} = (n - 1) cdot (frac{1}{r_1} + frac{1}{r_2})[/latex]
Wiemy też, że promienie są równe, tak więc pisać, że jest to promień [latex]r_1[/latex] i [latex]r_2[/latex] możemy zastąpić te promienie jedną zmienną [latex]r[/latex]:
[latex]r_1 = r_2 = r[/latex]
[latex]{frac{1}{x}} + {frac{1}{y}} = (n - 1) cdot (frac{1}{r} + frac{1}{r})[/latex]
Możemy promień sprowadzić do wspólnego mianownika i otrzymamy jeden ułamek:
[latex]{frac{1}{x}} + {frac{1}{y}} = (n - 1) cdot (frac{1}{r} + frac{1}{r})[/latex]
[latex]{frac{1}{x}} + {frac{1}{y}} = (n - 1) cdot frac{2}{r}[/latex]
Z treści zadania wiemy, że powiększenie wynosi [latex]- 2,5[/latex]. Powiększenie wyraża się jako iloraz odległości obrazu od soczewki [latex]y[/latex] do odległości przedmiotu od soczewki [latex]x[/latex]:
[latex]p = - frac{y}{x}[/latex]
Nie znamy odległości obrazu od soczewki, tak więc możemy przekształcić powyższe równanie, aby uzyskać wzór na odległość obrazu od soczewki:
[latex]y = -px[/latex]
Obliczoną wartość [latex]y[/latex] podstawiamy do wzoru na przekształcony wzór ogniskowej:
[latex]{frac{1}{x}} + {frac{1}{y}} = (n - 1) cdot frac{2}{r}[/latex]
[latex]{frac{1}{x}} + {frac{1}{-px}} = (n - 1) cdot frac{2}{r}[/latex]
Lewą stronę sprowadzamy do wspólnego mianownika, a prawą na razie zostawiamy w spokoju:
[latex]frac{1}{x} - {frac{1}{px}} = (n - 1) cdot frac{2}{r}[/latex]
[latex]frac{p}{px} - frac{1}{px} = (n - 1) cdot frac{2}{r}[/latex]
[latex]frac{p - 1}{px} = (n - 1) cdot frac{2}{r}[/latex]
Zanim przekształcimy wzór, by wyliczyć [latex]x[/latex], to najpierw mała wskazówka. Jeżeli jakaś niewiadoma znajduje się w mianowniku, a po drugiej stronie równania znajdują się znane dane, to wystarczy zamienić te dane z tą niewiadomą w mianowniku.
To znaczy, np. mamy takie równanie:
[latex]v = frac{2 pi r}{T}[/latex]
Znamy prędkość [latex]v[/latex] i znamy promień [latex]r[/latex], natomiast musimy obliczyć okres [latex]T[/latex], tak więc aby obliczyć ten okres zamieniamy literę [latex]T[/latex] z literą [latex]v[/latex]:
[latex]T = frac{2 pi r}{v}[/latex]
I mamy przekształcony wzór.
Spójrzmy na nasze równanie z niewiadomą [latex]x[/latex]:
[latex]frac{p - 1}{px} = (n - 1) cdot frac{2}{r}[/latex]
Znamy [latex]p[/latex], znamy [latex]n[/latex] i znamy promień [latex]r[/latex], nie znamy tylko odległości przedmiotu od soczewki [latex]x[/latex]. Niewiadoma [latex]x[/latex] znajduje się w mianowniku, tak więc wystarczy, że zamienimy miejscami [latex]x[/latex] z [latex](n - 1) cdot frac{2}{r}[/latex] i otrzymamy przekształcone równanie:
[latex]frac{p - 1}{p [(n - 1) cdot frac{2}{r}]} = x[/latex]
Wystarczy podstawić dane i mamy odległość przedmiotu od soczewki.
Musimy jeszcze obliczyć, czy po umieszczeniu soczewki w wodzie zmieni się miejsce (odległość) obrazu od soczewki [latex]y[/latex]. Na początku sprawdźmy, w jakiej odległości znajduje się ten obraz w powietrzu. Wystarczy [latex]x[/latex] podstawić do wcześniej wyprowadzonego wzoru:
[latex]y_{powietrze} = -px[/latex]
Znając gdzie znajduje się obraz w powietrzu, możemy obliczyć gdzie będzie znajdował się obraz w wodzie.
Skorzystamy ze wzoru na ogniskową soczewki, tym razem nazwijmy ją [latex]f_{woda}[/latex], tak by nie myliła się jedna ogniskowa z drugą:
[latex]frac{1}{f_{woda}} = (frac{n}{n_{os}} - 1) cdot frac{2}{r}[/latex]
Za [latex]n_{os}[/latex] wstawiamy współczynnik załamania światła w wodzie [latex]n_w[/latex]:
[latex]frac{1}{f_{woda}} = (frac{n}{n_{w}} - 1) cdot frac{2}{r}[/latex]
Równanie soczewki będzie takie samo, z tym, że teraz określamy ją dla wody:
[latex]frac{1}{f_{woda}} = frac{1}{x} + frac{1}{y_{woda}}[/latex]
[latex]frac{1}{x}[/latex] jest takie samo, dlatego, że przedmiot umieszczamy w wodzie w tej samej odległości, co w powietrzu.
Tak więc podstawiamy za [latex]f_{woda}[/latex] w równaniu ogniskowej powyższy wzór:
[latex]{frac{1}{x}} + {frac{1}{y_{woda}}} = (frac{n}{n_{w}} - 1) cdot frac{2}{r}[/latex]
Przenosimy [latex]frac{1}{x}[/latex] na drugą stronę i otrzymamy:
[latex]frac{1}{y_{woda}} = (frac{n}{n_w} - 1) cdot frac{2}{r} - frac{1}{x}[/latex]
Wrzućmy sobie [latex](frac{n}{n_w} - 1)[/latex] do licznika, aby było bardzie czytelnie:
[latex]frac{1}{y_{woda}} = frac{2 cdot (frac{n}{n_w} - 1)}{r} - frac{1}{x}[/latex]
Lewą stronę na razie zostawiamy w spokoju, a po prawej sprowadzamy do wspólnego mianownika:
[latex]frac{1}{y_{woda}} = frac{2x cdot (frac{n}{n_w} - 1)}{xr} - frac{r}{xr}[/latex]
[latex]frac{1}{y_{woda}} = frac{2x cdot (frac{n}{n_w} - 1) - r}{xr}[/latex]
Jeżeli chcemy obliczyć [latex]y_{woda}[/latex] to wystarczy odwrócić ułamki po lewej i prawej stronie:
[latex]y_{woda} = frac{xr}{2x cdot (frac{n}{n_w} - 1) - r}[/latex]
Podstawiamy dane i mamy obliczoną odległość obrazu od soczewki w wodzie, tę odległość porównujemy z odległością obrazu w powietrzu i zapisujemy wniosek w odpowiedzi, czy odległość obrazu od soczewki się zwiększyła, zmniejszyła, czy pozostała taka sama. Zadanie zrobione.
Powiększenie [latex]p[/latex] i współczynnik załamania światła [latex]n[/latex], to wielkości, które nie mają jednostki, a dwójka to liczbą więc nie ma jednostki, traktujemy ją jakby była jedynką:
[latex]x = [frac{1}{frac{1}{r}}][/latex]
[latex]x = [frac{r}{1}][/latex]
[latex]x = [frac{m}{1}][/latex]
[latex]x = [m][/latex]
[latex]y_{powietrze} = [m][/latex]
[latex]y_{woda} = [frac{m cdot m}{m}][/latex]
[latex]y_{woda} = [frac{m^2}{m}][/latex]
[latex]y_{woda} = [m][/latex]
