Dwa przykłady całek z załącznika. Bardzo bym prosiła o szczegółowe tłumaczenie, co kiedy i dlaczego.

1) kryterium ilorazowe  [latex] lim_{x o 0+} frac{ frac{sin x}{x}cdot frac{arctan x}{ sqrt{x} } }{ sqrt{x} } =1cdot lim_{x o 0+} frac{arctan x}{x}=1 [/latex] ta granica jest do policzenia za pomocą deHospitala ale można też ja pamiętać bo jest dość oczywista.  Wobec tego całka jest takiej samej zbieżności jak  [latex] intlimits^1_0 { sqrt{x} } , dx leq 1[/latex] a taka jest oczywiście zbieżna  2) Warunek konieczny  ponieważ  [latex] lim_{x o infty} frac{e^xarctan x}{x+1}= frac{ pi }{2} lim_{x o infty} frac{e^x}{x+1}=infty [/latex] to sama całka nie może być zbieżna.  uwaga. Alternatywa do rozwiązania 1 to oszacowanie przez długość przedziału razy [latex]max(f)_{[0,1]}[/latex]. Ponieważ funkcja jest ograniczona to istnieje takie [latex]M[/latex] ze dla każdego x zachodzi [latex]f extless M[/latex] oczywiście mówię tu o przedziale [latex](0,1][/latex] więc  [latex] intlimits^1_0 {f} , dx leq 1cdot M extless infty[/latex] co potwierdza obliczenia z 1 punktu  Czyli ostatecznie  a) zbieżna  b) rozbieżna