(załącznik do zadania może pomóc w zrozumieniu odpowiedzi)
W zderzeniach zachodzi zasada zachowania pędu oraz zasada zachowania energii.
Zasada zachowania pędu mówi nam o tym, że pęd początkowy [latex]p_0[/latex] równa się co do wartości pędowi końcowemu [latex]p_k[/latex]:
[latex]p_0 = p_k[/latex]
Natomiast zasada zachowania energii (kinetycznej) działa na podobnej zasadzie, czyli początkowa energia kinetyczna [latex]E_k_0[/latex] ma się równać końcowej energii kinetycznej [latex]E_k_k[/latex]:
[latex]E_k_0 = E_k_k[/latex]
Jeżeli na początku tylko ciało o masie [latex]M[/latex] poruszało się wzdłuż osi [latex]X[/latex], to początkowy pęd układu mas [latex]M[/latex] i [latex]m[/latex] wynosi:
[latex]p_0 = Mv_1[/latex]
Na końcu ciała od siebie się odbiły i oba miały tę samą prędkość równą [latex]u_1[/latex], tak więc ich pęd końcowy będzie równy:
[latex]p_k = mu_1 - Mu_1[/latex]
Przy masie [latex]M[/latex] jest minus dlatego, że to ciało po odbiciu porusza się przeciwnie do osi [latex]X[/latex].
Skoro wiemy, że te pędy mają być sobie równe, to otrzymamy:
[latex]Mv_1 = mu_1 - Mu_1[/latex]
Zostawmy na razie to równanie i przejdźmy do zasady zachowania energii. Energię początkową ma tylko ciało o masie [latex]M[/latex], ponieważ tylko ono miało prędkość:
[latex]E_k_0 = frac{Mv_1^2}{2}[/latex]
A energia końcowa będzie sumą energii kinetycznych ciał o masach [latex]M[/latex] i [latex]m[/latex]:
[latex]E_k_k = frac{Mu_1^2}{2} + frac{mu_1^2}{2}[/latex]
Te energia także mają być sobie równe:
[latex]frac{Mv_1^2}{2} = frac{Mu_1^2}{2} + frac{mu_1^2}{2}[/latex]
[latex]Mv_1^2 = Mu_1^2 + mu_1^2[/latex]
Powróćmy do równania wynikającego z zasady zachowania pędu i wyliczmy ile wynosi końcowa prędkość, ciał [latex]M[/latex] i [latex]m[/latex]:
[latex]Mv_1 = mu_1 - M_u1[/latex]
[latex]u_1 = frac{Mv_1}{m - M}[/latex]
Podnieśmy teraz to równanie stronami do kwadratu:
[latex]u_1^2 = frac{M^2v_1^2}{m^2 - 2mM + M^2}[/latex]
Teraz obliczmy tę samą prędkość [latex]u_1[/latex] korzystając z zasady zachowania energii:
[latex]Mv_1^2 = Mu_1^2 + mu_1^2[/latex]
[latex]u_1^2 = frac{Mv_1^2}{M+m}[/latex]
Skoro wiemy, że prędkość [latex]u_1^2[/latex] można zapisać na dwa sposoby, to możemy je do siebie przyrównać:
[latex]frac{M^2v_1^2}{m^2 - 2mM + M^2} = frac{Mv_1^2}{M+m}[/latex]
Skróćmy po obu stronach [latex]v_1^2[/latex] i jedno [latex]M[/latex]:
[latex]frac{M}{m^2 - 2mM + M^2} = frac{1}{M+m}[/latex]
Teraz pozbądźmy się mianowników:
[latex]M(M+m) = m^2 - 2mM + M^2[/latex]
[latex]M^2 + mM = m^2 - 2mM + M^2[/latex]
[latex]M^2 - M^2 + mM = m^2 - 2mM[/latex]
[latex]3mM = m^2[/latex]
[latex]3M = m[/latex]
[latex]frac{m}{M} = 3[/latex]
Zadanie zrobione.
