a) [latex]x(2x-9)(3x+1)=0 \\ x=0 vee 2x-9 = 0 vee 3x +1 = 0 \\ x=0 vee 2x=9 /:2 vee 3x = - 1 /:3 \\ x=0 vee x= frac{9}{2} vee x= -frac{1}{3} \\ x=0 vee x= 4frac{1}{2} vee x= -frac{1}{3}[/latex] Odp. Rozwiązaniem równania są liczby: [latex]-frac{1}{3}; 0; 4frac{1}{2}[/latex]. b) [latex]x^3-3x^2-9x+27leq 0 \\ x^2 cdot (x- 3) - 9 cdot (x - 3) leq 0 \\ (x-3)(x^2 - 9) leq 0 \\ (x-3)(x-3)(x+3) leq 0 \\ (x-3)^2(x+3) leq 0[/latex] Wyznaczamy miejsca zerowe: [latex](x-3)^2(x+3)=0 \\ (x-3)^2=0 /^{sqrt{}} vee x+3 = 0 \\ x-3=0 vee x=-3 \\ x = 3 vee x = -3[/latex] Rysujemy przybliżony wykres, z którego odczytamy rozwiązanie nierówności [latex](x-3)^2(x+3) leq 0[/latex] - zaznaczamy miejsca zerowe -3 i 3 na osi liczbowej - zaczynamy rysować z prawej strony (zawsze rysujemy z prawej strony) od góry (bo współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej x wynosi 1, czyli jest dodatni) - rysując wykres zwracamy uwagę na krotność pierwiastków (dla pierwiastków parzysto-krotnych wykres nie przecina osi, tylko "odbija się" od nie, a dla pierwiastków nieparzysto-krotnych wykres przecina oś w miejscu, gdzie znajduje się pierwiastek). Zatem dla x = 3 wykres "odbije się od osi, bo jest to pierwiastek 2-krotny i przetnie oś dla x = -3, bo jest to pierwiastek 1-krotny - patrz załącznik. Odczytujemy rozwiązanie nierówności: [latex]x in (-infty; - 3 angle[/latex] Odp. Rozwiązaniem nierówności jest przedział: [latex](-infty; - 3 angle[/latex] c) [latex]frac{x^2-x-6}{x^2-2x-3} =0[/latex] Wyznaczamy dziedzinę: [latex]x^2-2x-3 eq 0 \\ Delta = (-2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-3) = 4 + 12 = 16; sqrt{Delta}=sqrt{16}=4 \\ x_1= frac{-(-2)-4}{2 cdot 1} = frac{2-4}{2} = frac{-2}{2} = -1 \\ x_2= frac{-(-2)+4}{2 cdot 1} = frac{2+4}{2} = frac{6}{2} = 3 \\ D = R setminus {-1; 3 }[/latex] [latex]frac{x^2-x-6}{x^2-2x-3} =0 \\ x^2-x-6=0 \\ Delta = (-1)^2 - 4 cdot 1 cdot (-6) = 1 + 24 = 25; sqrt{Delta}=sqrt{25}=5 \\ x_1= frac{-(-1)-5}{2 cdot 1} = frac{1-5}{2} = frac{-4}{2} = -2 in D \\ x_2= frac{-(-1)+5}{2 cdot 1} = frac{1+5}{2} = frac{6}{2} = 3 otin D[/latex] Odp. Rozwiązaniem równania jest liczba - 2. d) [latex]2x^3+5x^2-4x-10=0 \\ x^2 cdot (2x+5)-2 cdot (2x-5)=0 \\ (2x+5)(x^2 - 2) = 0 \\ (2x+5)(x - sqrt{2})(x + sqrt{2}) = 0 \\ 2x+5 = 0 vee x - sqrt{2} = 0 vee x + sqrt{2} = 0 \\ 2x = - 5 /:2 vee x = sqrt{2} vee x = - sqrt{2} \\ x = - 2,5 vee x = sqrt{2} vee x = - sqrt{2}[/latex] Odp. Rozwiązaniem równania są liczby: [latex]-2,5; - sqrt{2}; sqrt{2}[/latex]. e) [latex]frac{2x-3}{2-x}=x+1[/latex] Wyznaczamy dziedzinę: [latex]2-x eq 0 \\ -x eq -2 / cdot (-1) \\ x eq 2 \\ D = R setminus {2}[/latex] [latex]frac{2x-3}{2-x}=x+1 \\ frac{2x-3}{2-x}- (x+1) = 0 \\ frac{2x-3}{2-x}- frac{(x+1)(2-x)}{2-x}= 0 \\ frac{2x - 3 -(x+1)(2-x)}{2-x}= 0 \\ 2x - 3 -(x+1)(2-x) = 0 \\ 2x - 3 -(2x-x^2+2-x)= 0 \\ 2x - 3 -(-x^2+x +2)=0 \\ 2x - 3 +x^2-x-2=0 \\ x^2 + x - 5 = 0 \\ Delta = 1^2 - 4 cdot 1 cdot (-5) = 1 + 20 = 21; sqrt{Delta}=sqrt{21} \\ x_1= frac{-1-sqrt{21}}{2 cdot 1} = frac{-1-sqrt{21}}{2} approx-2,79 in D[/latex] [latex]x_2= frac{-1+sqrt{21}}{2 cdot 1} = frac{-1+sqrt{21}}{2} approx 1,79 in D[/latex] Odp. Rozwiązaniem równania są liczby [latex]frac{-1-sqrt{21}}{2}; frac{-1+sqrt{21}}{2}[/latex] f) [latex]frac{(x+4)(2-x)}{(7-x)(4-x)} extgreater 0[/latex] Wyznaczamy dziedzinę: [latex](7-x)(4-x) eq 0 \\ 7-x eq 0 wedge 4-x eq 0 \\ -x eq -7 / cdot (-1) wedge -x eq -4 / cdot (-1) \\ x eq 7 wedge x eq 4 \\ D = R setminus {4; 7 }[/latex] [latex]frac{(x+4)(2-x)}{(7-x)(4-x)} extgreater 0 \\ (x+4)(2-x)(7-x)(4-x) extgreater 0[/latex] Wyznaczamy miejsca zerowe: [latex](x+4)(2-x)(7-x)(4-x) = 0 \\ x+4 = 0 vee 2-x =0 vee 7-x = 0 vee 4-x = 0 \\ x=-4 vee -x = - 2 / cdot (-1) vee -x = -7 / cdot (-1) vee -x =-4 / cdot (-1) \\ x=-4 vee x = 2 vee x = 7 vee x = 4[/latex] Rysujemy przybliżony wykres: zaznaczmy miejsca zerowe: -4; 2; 4 i 7 na osi (wszystkie są 1-krotne, więc wykres w tych miejscach będzie przecinał oś), zaczynamy rysować z prawek strony od dołu, bo współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej x wynosi -1, czyli jest ujemny - patrz załącznik. Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności pamiętając o dziedzinie: [latex]x in (-4; 2) cup (4; 7)[/latex] Odp. Rozwiązaniem nierówności jest suma przedziałów: [latex](-4; 2) cup (4; 7)[/latex]
