[latex](a_n)[/latex] to ciąg liczbowy, czyli funkcja określona na zbiorze [latex]N^+[/latex], czyli [latex]n in N^+[/latex] ========== Zał. [latex]n in N^+[/latex] [latex]left { {{a_n= n^3 - 5n^2 - 5n + 25} atop {a_n extless 0}} ight. Rightarrow n^3 - 5n^2 - 5n + 25 extless 0 \\ n^3 - 5n^2 - 5n + 25 extless 0 \\ n^2 cdot (n - 5) - 5 cdot (n -5) extless 0 \\ (n-5)(n^2 -5) extless 0 \\ (n-5)(n - sqrt{5})(n +sqrt{5}) extless 0[/latex] Wyznaczamy miejsca zerowe: [latex](n-5)(n - sqrt{5})(n +sqrt{5}) = 0 \\ n-5 = 0 vee n - sqrt{5}= 0 vee n +sqrt{5} = 0 \\ n=5 vee n = sqrt{5} vee n =-sqrt{5}[/latex] Rysujemy przybliżony wykres: zaznaczamy miejsca zerowe na osi, wykres rysujemy z prawej strony od góry, bo współczynnik przy największej potędze n wynosi 1, czyli jest dodatni i wykres przecina oś w miejscach zerowych, bo pierwiastki są 1-krotne (nieparzyste) - patrz załącznik (rys. A). Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności n³ - 5n² - 5n + 25 < 0: [latex]n in (-infty; - sqrt{5}) cup (sqrt{5}; 5)[/latex] Uwzględniając zał. n ∈ N⁺ otrzymujemy ostateczne rozwiązanie: [latex]a_n extless 0 dla n in ((-infty; - sqrt{5}) cup (sqrt{5}; 5)) cap N^+ = {3; 4 }, \\ czyli dla n = 3 i n = 4 [/latex] Odp. Ujemnymi wyrazami danego ciągu są trzeci i czwarty wyraz, czyli [latex]a_n extless 0 dla n = 3 i n = 4[/latex] ========== Zał. [latex]n in N^+[/latex] [latex]left { {{a_n= n^3 - 5n^2 - 5n + 25} atop {a_n extgreater 3}} ight. Rightarrow n^3 - 5n^2 - 5n + 25 extgreater 3 \\ n^3 - 5n^2 - 5n + 25 extgreater 3 \\ n^3 - 5n^2 - 5n + 25 -3 extgreater 0 \\ n^3 - 5n^2 - 5n + 22 extgreater 0 \\ n^3 - 2n^2 -3n^2+6n -11n +22 extgreater 0 \\ n^2 cdot (n -2) - 3n cdot (n -2) - 11 cdot (n- 2) extgreater 0 \\ (n -2) (n^2 - 3n - 11) extgreater 0[/latex] Wyznaczamy miejsca zerowe: [latex](n -2) (n^2 - 3n - 11) = 0 \\ n-2 = 0 vee n^2 - 3n - 11 = 0 \\ n-2 = 0 \ n=2 \ n_1 = 2 \\ n^2 - 3n - 11 = 0 \ Delta = (-3)^2 - 4 cdot 1 cdot (-11) = 9 + 44 = 53 \ n_2 = frac{-(-3) - sqrt{53}}{2 cdot 1} = frac{3 - sqrt{53}}{2} approx -2,14 \ n_3 = frac{-(-3) + sqrt{53}}{2 cdot 1} = frac{3 + sqrt{53}}{2} approx 5,14 \\ n = 2 vee n =frac{3 - sqrt{53}}{2} approx -2,14 vee n =frac{3 + sqrt{53}}{2} approx 5,14[/latex] Rysujemy przybliżony wykres: zaznaczamy miejsca zerowe na osi, wykres rysujemy z prawej strony od góry, bo współczynnik przy największej potędze n wynosi 1, czyli jest dodatni i wykres przecina oś w miejscach zerowych, bo pierwiastki są 1-krotne (nieparzyste) - patrz załącznik (rys. B). Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności n³ - 5n² - 5n + 25 > 3: [latex]n in (frac{3 - sqrt{53}}{2}; 2) cup (frac{3 + sqrt{53}}{2}; +infty)[/latex] Uwzględniając zał. n ∈ N⁺ otrzymujemy ostateczne rozwiązanie: [latex]a_n extgreater 3 dla n in ((frac{3 - sqrt{53}}{2}; 2) cup (frac{3 + sqrt{53}}{2}; +infty)) cap N^+ = {1 } cup langle6; +infty), \\ czyli dla n = 1 i n geq 6[/latex] Odp. Pierwszy wyraz i każdy wyraz od szóstego wyrazu włącznie danego ciągu jest większy od 3, czyli [latex]a_n extgreater 3 dla n = 1 i n geq 6[/latex]
