Najpierw policzmy o ile zanurzony jest pływak w stanie równowagi. A to po to, żeby wiedzieć o ile go potem należy przemieścić w obu przypadkach :P
Z równowagi sił w tym stanie mamy:
m·g = Fw
γd·V = γw·Vz
γd·S·H = γw·S·h ---> h = H·γd/γw
W obu przypadkach chodzi zapewne o minimalną pracę, a więc o przemieszczanie ruchem jednostajnym. Wtedy siły: wyporu Fw, ciężar m·g i nasza siła F muszą się równoważyć (zgodnie z I zasadą dynamiki).
Szukana praca to praca naszej siły F.
a) Z równowagi sił: F + Fw = m·g ---> F = m·g - Fw
Niestety siła wyporu będzie się zmieniała wraz z przemieszczeniem x w górę, więc :
F = m·g - γw·S·(h - x) = γd·S·H - γw·S·(h - x) = (γd·H - γw·h)·S + γw·S·x
F = (γd·H - γw·H·γd/γw)·S + γw·S·x = γw·S·x
Teraz należy policzyć całkę W = ∫F·dx = ∫γw·S·x·dx lub ewentualnie skorzystać z tego, że praca jest polem pod wykresem F = f(x)
Policzmy całkę w granicach od 0 do h (o tyle wyciągamy) :
W = ∫γw·S·x·dx = γw·S·∫x·dx = γw·S·x²/2 = γw·S·h²/2
W = 0.5·γw·S·H²·γd²/γw²
b) Z równowagi sił: F + m·g = Fw ---> F = Fw - m·g
Podobnie siła wyporu będzie się zmieniała wraz z przemieszczeniem x w dół, więc :
F = γw·S·(h + x) - m·g = γw·S·(h + x) - γd·S·H = (γw·h - γd·H)·S + γw·S·x
F = (γw·H·γd/γw - γd·H)·S + γw·S·x = γw·S·x
W = ∫F·dx
Tym razem całka jest w granicach od 0 do H - h (o tyle zanurzamy) :
W = ∫γw·S·x·dx = γw·S·∫x·dx = γw·S·x²/2 = γw·S·(H - h)²/2
W = 0.5·γw·S·(H - H·γd/γw)² = 0.5·γw·S·H²·(γw - γd)²/γw²
