Zbadaj monotoniczność ciągu: [latex]an= frac{ 2^{n} }{n+4} [/latex]

[latex]a_{n+1} - a_n = cfrac{2^{n+1}}{n+1+4} - cfrac{2^n}{n+4} = cfrac{2cdot 2^n}{n+5} - cfrac{2^n}{n+4} =[/latex] [latex]=2^n(cfrac{2}{n+5} - cfrac{1}{n+4}) = 2^n cdotcfrac{2(n+4) - (n+5)}{(n+4)(n+5)} = 2^n cdot cfrac{2n + 8 - n - 5}{(n+4)(n+5)} =[/latex] [latex]=2^n cdot cfrac{n + 3}{(n + 4)(n + 5)}[/latex] n jest liczbą naturalną, czyli większą od 0. Stąd n + 4 > 0 i n + 5 > 0. Zatem (n + 4)(n + 5) > 0. Oczywiście n + 3 > 0. Wynika stąd, że [latex]cfrac{n + 3}{(n+4)(n+5)} > 0[/latex]. Również [latex]2^n > 0[/latex]. Stąd ostatecznie [latex]a_{n+1} - a_n > 0[/latex] To oznacza, że ciąg jest rosnący.