[latex]Dane:[/latex] [latex]H, f,[/latex] [latex]v = sqrt{0,6gH}[/latex] [latex]Szukane:[/latex] [latex]s[/latex] (czytając odpowiedź otwórz załącznik do zadania) Gdy klocek zsuwa się z równi działają na niego następujące siły: 1) siła ciężkości [latex]F_g[/latex] działająca pionowo w dół, którą wyraża się wzorem: [latex]F_g = mg[/latex] 2) składowa prostopadła siły ciężkości [latex]F_{perp}[/latex], która jest równocześnie siłą nacisku [latex]F_N[/latex] skrzyni o podłoże, ponieważ ta siła działa dokładnie prostopadle do powierzchni równi. Siłę prostopadłą możemy obliczyć korzystając z trygonometrii i będzie ona wynosić: [latex]F_{perp} = F_gcos{alpha}[/latex] [latex]F_{perp} = mgcos{alpha}[/latex] 3) składowa równoległa siły ciężkości [latex]F_{||}[/latex], to ta siła jest odpowiedzialna za to, że klocek zsuwa się z równi, tę siłę także obliczymy z trygonometrii: [latex]F_{||} = Fgsin{alpha}[/latex] [latex]F_{||} = mgsin{alpha}[/latex] 4) siła tarcia [latex]F_T[/latex], działająca przeciwnie do kierunku ruchu klocka, siła ta spowalnia klocek. Siła tarcia to iloczyn siły nacisku [latex]F_N[/latex] i współczynnika tarcia [latex]f[/latex]: [latex]F_T = F_Nf[/latex] Powiedzieliśmy sobie na początku, że za siłę nacisku odpowiada składowa prostopadła siły ciężkości [latex]F_{perp}[/latex], tak więc siłę tarcia wyrazimy wzorem: [latex]F_T = mgcos{alpha}f[/latex] 5) ostatnia siła, to siła reakcji podłoża [latex]F_R[/latex], która równoważy siłę [latex]F_{perp}[/latex] Zadania z równi pochyłej opierają się na pewnym schemacie: narysowanie wszystkich sił działających na ciało/a oraz ułożenie równań. My ograniczymy się tylko do ułożenia równania w osi poziomej (wzdłuż drogi [latex]s[/latex]). Jak na początku napisałem siła, która jest odpowiedzialna za ruch, to siła [latex]F_{||}[/latex], a przeciwnie do niej działa siła tarcia [latex]F_T[/latex]. Siła tarcia nie jest równa składowej równoległej. Tak więc powstanie jakaś siła wypadkowa [latex]F_{wyp}[/latex], która będzie różnicą sił [latex]F_{||}[/latex] i [latex]F_T[/latex]: [latex]F_{wyp} = F_{||} - F_T[/latex] Jest to różnica dlatego, że siły te działają w przeciwnych kierunkach. Siła wypadkowa wynika z II zasady dynamiki Newtona i wyraża się ją wzorem: [latex]F_{wyp} = ma[/latex] Podstawiając dane za [latex]F_{wyp}[/latex], [latex]F_{||}[/latex] i [latex]F_T[/latex] wzory otrzymamy: [latex]ma = mgsin{alpha} - mgcos{alpha}f[/latex] [latex]ma = mg(sin{alpha} - cos{alpha}f)[/latex] Skracamy masę [latex]m[/latex]: [latex]a = g(sin{alpha} - cos{alpha}f)[/latex] Mamy przyspieszenie z jakim porusza się klocek. Przyspieszenie w ruchu postępowym liczymy ze wzoru: [latex]a = frac{v}{t}[/latex] Nie znamy czasu zsuwania się z równi, dlatego przekształcimy równanie, aby otrzymać wzór na czas [latex]t[/latex]: [latex]t = frac{v}{a}[/latex] Znamy prędkość [latex]v[/latex], tak więc podstawmy: [latex]t = frac{sqrt{0,6gH}}{a}[/latex] Skoro wiemy już, że klocek porusza się z przyspieszeniem, to możemy obliczyć drogę [latex]s[/latex] w ruchu przyspieszonym, którą opisuje wzór: [latex]s = v_0t + frac{at^2}{2}[/latex] Klocek nie miał prędkości początkowej [latex]v_0[/latex], innymi słowy prędkość początkowa wynosi zero [latex](v_0 = 0)[/latex]. Czyli otrzymamy: [latex]s = frac{at^2}{2}[/latex] Podstawiamy za czas [latex]t[/latex] napisany wcześniej wzór: [latex]s = frac{a(frac{sqrt{0,6gH}}{a})^2}{2}[/latex] [latex]s = frac{afrac{0,6gH}{a^2}}{2}[/latex] [latex]s = frac{0,6gH}{2a}[/latex] Wiemy, że przyspieszenie [latex]a[/latex] jest równe: [latex]a = g(sin{alpha} - cos{alpha}f)[/latex] Tak więc i je podstawmy do wzoru na drogę: [latex]s = frac{0,6gH}{2g(sin{alpha} - cos{alpha}f)}[/latex] Skracamy [latex]g[/latex]: [latex]s = frac{0,6H}{2(sin{alpha} - cos{alpha}f)}[/latex] Nie znamy kąta [latex]alpha[/latex], ale wiemy, że [latex]sin{alpha}[/latex] to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta [latex]alpha[/latex] do przeciwprostokątnej. Naprzeciwko kąta [latex]alpha[/latex] jest wysokość [latex]H[/latex], a naszą przeciwprostokątną droga (długość równi) [latex]s[/latex]: [latex]sin{alpha} = frac{H}{s}[/latex] Natomiast [latex]cos{alpha}[/latex] będzie to stosunek przyprostokątnej leżącej obok kąta, czyli długość [latex]l[/latex] do przeciwprostokątnej [latex]s[/latex]: [latex]cos{alpha} = frac{l}{s}[/latex] Długość [latex]l[/latex] możemy obliczyć z twierdzenia Pitagorasa: [latex]l = sqrt{s^2 - H^2}[/latex] W efekcie uzyskamy: [latex]cos{alpha} = frac{sqrt{s^2 - H^2}}{s}[/latex] Podstawiamy [latex]sin{alpha}[/latex] i [latex]cos{alpha}[/latex] do wzoru na drogę: [latex]s = frac{0,6H}{2(sin{alpha} - cos{alpha}f)}[/latex] [latex]s = frac{0,6H}{2(frac{H}{s}- frac{sqrt{s^2 - H^2}}{s}f)}[/latex] [latex]0,6H = 2s(frac{H}{s}- frac{sqrt{s^2 - H^2}}{s}f)[/latex] Wymnażamy: [latex]0,6H = 2s frac{H}{s} - 2sfrac{sqrt{s^2 - H^2}}{s}f[/latex] [latex]0,6H = 2H- 2 sqrt{s^2 - H^2}f[/latex] [latex]2f sqrt{s^2 - H^2} = 2H - 0,6H[/latex] [latex]2f {sqrt{s^2 - H^2}} = 1,4H[/latex] Podnosimy stronami do kwadratu, by pozbyć się pierwiastka: [latex]4f^2s^2 - 4f^2H^2 = 1,96H^2[/latex] Jeśli nie wiesz skąd to się wzięło, to możemy podzielić na początku przez [latex]2f[/latex]: [latex]sqrt{s^2 - H^2} = frac{1,4H}{2f}[/latex] Teraz podnieść stronami do kwadratu: [latex]s^2 - H^2 = frac{1,96H^2}{4f^2}[/latex] A następnie pomnożyć stronami razy [latex]4f^2[/latex]: [latex]4f^2s^2 - 4f^2H^2 = 1,96H^2[/latex] Wyznaczamy długość równi [latex]s[/latex]: [latex]4f^2s^2 = 1,96H^2 + 4f^2H^2[/latex] [latex]4f^2s^2 = H^2(1,96 + 4f^2)[/latex] [latex]s^2 = frac{H^2(1,96 + 4f^2)}{4f^2}[/latex] [latex]s = H sqrt{frac{1,96 + 4f^2}{4f^2}}[/latex] Zadanie zrobione.
