Początek rozwiązania obu podpunktów jest identyczny: Lewa strona nierówności jest sumą nieskończonego szeregu geometrycznego, w którym [latex]a_1 = 0[/latex] [latex]q = x^2 - 2x[/latex] Szereg ten jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy [latex]|q| < 1[/latex] [latex]|x^2 - 2x| < 1[/latex] [latex]-1 < x^2 - 2x < 1[/latex] [latex]x^2 - 2x + 1 > 0 land x^2 - 2x - 1 < 0[/latex] [latex](x - 1)^2 > 0 qquad left(x - 1 + sqrt{2} ight)left(x - 1 - sqrt{2} ight) < 0[/latex] [latex]x in mathbb{R} - {1} land x in (1 - sqrt{2},1 + sqrt{2})[/latex] Zatem [latex]|q| < 1 Leftrightarrow x in (1 - sqrt{2},1)cup(1,1+sqrt{2})[/latex] Załóżmy teraz, że [latex]|q| < 1[/latex] wówczas dana nierówność ma postać: a) [latex]cfrac{1}{1 - (x^2 - 2x)} leq 1[/latex] [latex]cfrac{1}{1 - x^2 + 2x} leq 1[/latex] [latex]cfrac{-1}{x^2 - 2x - 1} - cfrac{x^2 - 2x - 1}{x^2 - 2x - 1} leq 0[/latex] [latex]cfrac{-x^2 + 2x}{x^2 - 2x - 1} leq 0[/latex] Z założenia [latex]x^2 - 2x - 1 < 0[/latex], zatem [latex]-x^2 + 2x geq 0[/latex] [latex]-x(x - 2) geq 0[/latex] [latex]x in [0,2][/latex] Stąd po uwzględnieniu założenia mamy: [latex]x in [0,1)cup(1,2][/latex] b) [latex]cfrac{1}{1 - (x^2 - 2x)} > 1[/latex] [latex]cfrac{1}{1 - x^2 + 2x} > 1[/latex] [latex]cfrac{-1}{x^2 - 2x - 1} - cfrac{x^2 - 2x - 1}{x^2 - 2x - 1} > 0[/latex] [latex]cfrac{-x^2 + 2x}{x^2 - 2x - 1} > 0[/latex] Z założenia [latex]x^2 - 2x - 1 < 0[/latex], zatem [latex]-x^2 + 2x < 0[/latex] [latex]-x(x - 2) < 0[/latex] [latex]x in (-infty,0)cup(2,+infty)[/latex] Stąd po uwzględnieniu założenia mamy: [latex]x in (1-sqrt{2},0)cup(2,1+sqrt{2})[/latex]
