[latex]v = sqrt{frac{2E_k}{m}}[/latex] Podstawiamy dane: [latex]v = sqrt{frac{2 cdot 4,793 cdot 10^{-19}}{9,11 cdot 10^{-31}}}[/latex] Do tej chwili liczymy normalnie, to znaczy odstawiamy na bok notację wykładniczą (czyli te dziesiątki) i skupiamy się na samym mnożeniu i dzieleniu: [latex]v = sqrt{frac{9,586 cdot 10^{-19}}{9,11 cdot 10^{-31}}}[/latex] Dla uproszczenia tłumaczenia, możemy to sobie zapisać w ten sposób: [latex]v = sqrt{frac{9,586}{9,11} cdot frac{10^{-19}}{10^{-31}}}[/latex] Pierwszy ułamek dzielimy normalnie: [latex]v = sqrt{1,052 cdot frac{10^{-19}}{10^{-31}}}[/latex] W notacji wykładniczej jest pewna zasada. Gdy mnożymy dwie liczby, które mają takie same podstawy, to ich potęgi dodajemy: [latex]2^{2} cdot 2^{5} = 2^{2+5} = 2^{7}[/latex] Podstawą jest cyfra [latex]2[/latex], a potęgami [latex]2[/latex] i [latex]5[/latex]. Gdy dzielimy dwie liczby o tej samej podstawie, to ich potęgi odejmujemy: [latex]7^{9}:7^{12} = 7^{9-12} = 7^{-3}[/latex] Mogę to też zapisać w ten sposób: [latex]frac{7^9}{7^{12}} = 7^{9}:7^{12} = 7^{-3}[/latex] Tak więc wracając do naszego zadania otrzymamy: [latex]v = sqrt{1,052 cdot 10^{-19}:10^{-31}}[/latex] Skupmy się na razie na samych potęgach: [latex]10^{-19}:10^{-31} = 10^{-19 - (-31)} = 10^{-19 + 31} = 10^{12}[/latex] Zatem pod pierwiastkiem będzie: [latex]v = sqrt{1,052 cdot 10^{12}}[/latex] Gdy pierwiastkujemy pierwiastkiem drugiego stopnia, to potęgę skracamy przez dwa, jest tak dlatego, że pierwiastek drugiego stopnia także możemy zapisać za pomocą potęgi: [latex]sqrt{x} = x^{frac{1}{2}}[/latex] Czyli nasz pierwiastek możemy zapisać w następujący sposób: [latex]v = (1,052 cdot 10^{12})^{frac{1}{2}}[/latex] I teraz podnosimy do potęgi osobno [latex]1,052[/latex] i [latex]10^{12}[/latex]. Gdy w nawiasie jest jakaś liczba podniesiona do potęgi, a cały nawias jest również podniesiony do potęgi, to potęgi wymnażamy: [latex](2^2)^3 = 2^{2 cdot 3} = 2^6[/latex] [latex](8,1^{frac{3}{4}})^{frac{5}{8}} = 8,1^{frac{3}{4} cdot frac{5}{8}} = 8,1^{frac{15}{32}}[/latex] No to podnosimy: [latex]v = 1,052^{frac{1}{2}} cdot (10^{12})^{frac{1}{2}}[/latex] [latex]v = 1,052^{frac{1}{2}} cdot 10 10^{12 cdot frac{1}{2}}[/latex] [latex]v = 1,052^{frac{1}{2}} cdot 10^6[/latex] Pierwiastek z [latex]1,052[/latex] jest równy [latex]1,02[/latex]. W efekcie czego otrzymamy: [latex]v = 1,02 cdot 10^6[/latex] Zapamiętaj, że każdy pierwiastek można przedstawić w postaci potęgi. Pierwiastek trzeciego stopnia: [latex]sqrt[3]{x} = x^{frac{1}{3}}[/latex] Pierwiastek czwartego stopnia: [latex]sqrt[4]{x} = x^{frac{1}{4}}[/latex] Piątego stopnia itd.: [latex]sqrt[5]{x} = x^{frac{1}{5}}[/latex] [latex]sqrt[10]{x} = x^{frac{1}{10}}[/latex] [latex]sqrt[100]{x} = x^{frac{1}{100}}[/latex] Można przyjąć ogólną regułę, że pierwiastek podniesiony do dowolnej potęgi [latex]n[/latex] da się zapisać, jako: [latex]sqrt[n]{x} = x^{frac{1}{n}}[/latex] Gdy mamy pierwiastek parzystego stopnia [latex](2, 4, 6, ...)[/latex] to najlepiej, aby pod pierwiastkiem znajdowały się potęgi parzyste, dlatego by łatwiej można było je skrócić. Dla przykładu tak jak w naszym zadaniu: [latex]sqrt{10^{12}} = (10^{12})^{frac{1}{2}} = 10^{12 cdot frac{1}{2}} = 10^6[/latex] Gdybyśmy pod pierwiastkiem nieparzystego stopnia mieli liczbę [latex]10^{12}[/latex] otrzymalibyśmy: [latex]sqrt[3]{10^{12}} = (10^{12})^{frac{1}{3}} = 10^{12 cdot frac{1}{3}} = 10^4[/latex] [latex]sqrt[5]{10^{12}} = (10^{12})^{frac{1}{5}} = 10^{12 cdot frac{1}{5}} = 10^{frac{12}{5}}[/latex] Można zostawić taki wynik, ale możemy także potęgę zamienić na wielokrotność liczby [latex]5[/latex]. Najłatwiej jest z [latex]12[/latex] zrobić [latex]10[/latex], wtedy bardzo łatwo będzie można skrócić [latex]5[/latex] z [latex]10[/latex]. Aby to zrobić musimy zabrać z [latex]12[/latex] dwie jednostki potęgi, tak by było [latex]10[/latex]. Wtedy otrzymamy: [latex]sqrt[5]{10^{10} cdot 10^2}[/latex] Zamieniamy pierwiastek na potęgę: [latex]sqrt[5]{10^2 cdot 10^{10}} = (10^2)^{frac{1}{5}} cdot (10^{10})^{frac{1}{5}}[/latex] Otrzymamy: [latex]10^{frac{2}{5}} cdot 10^{2} = 10^{frac{2}{5} cdot 2} = 10^{frac{4}{5}}[/latex] Gdybyśmy mieli jeszcze jakąś liczbę, np. [latex]7 582[/latex] to musielibyśmy ją jeszcze spierwiastkować (lub podnieść do potęgi): [latex]sqrt[5]{7 582 cdot 10^2 cdot 10^{10}} = (7 582)^{frac{1}{5}} cdot (10^2)^{frac{1}{5}} cdot (10^{10})^{frac{1}{5}} = (7 582)^{frac{1}{5}} cdot 10^frac{4}{5}} = 5,96 cdot 10^{frac{4}{5}}[/latex] Wyszedł nam jakiś złom, który możemy zapisać także w ten sposób: [latex]5,96 sqrt[5]{10^4}[/latex] Wzięło się to stąd, że przekształciłem [latex]10^{frac{4}{5}}[/latex] na [latex](10^4)^frac{1}{5}[/latex]. To jest to samo, a potęga [latex]frac{1}{5}[/latex] to przecież pierwiastek piątego stopnia, więc: [latex]5,96 cdot 10^{frac{4}{5}} = 5,96 sqrt[5]{10^4}[/latex]
