[latex]Zadanie 1.[/latex] [latex]Dane:[/latex] [latex]e = 1,6 cdot 10^{-19} C[/latex] [latex]r_1 = 5,3 cdot 10^{-11} m[/latex] [latex]m = 9,11 cdot 10^{-31} kg[/latex] [latex]k = 9 cdot 10^9 frac{Nm^2}{C^2}[/latex] [latex]Szukane:[/latex] [latex]v[/latex] Możemy wykazać tę prędkość na dwa sposoby. Gdy elektron znajduje się na orbicie działają na niego dwie siły: 1) Siła Coulomba, która przyciąga elektron do jądra atomu, w którym znajdują się protony (i neutrony) 2) oraz siła dośrodkowa, która sprawia, że elektron porusza się po okręgu. Skoro wiemy, że te siły są sobie równe, to możemy je do siebie przyrównać. Siłę Coulomba działającą między elektronem a protonem mamy zapisaną w treści zadania: [latex]F_C = kfrac{e^2}{r^2}[/latex] Natomiast siłę dośrodkową [latex]F_{d}[/latex] wyrażamy wzorem: [latex]F_{d} = frac{mv^2}{r}[/latex] Przyrównujemy je do siebie: [latex]F_C = F_{d}[/latex] [latex]kfrac{e^2}{r^2} = frac{mv^2}{r}[/latex] Skracamy jedno [latex]r[/latex] i przekształcamy wzór, by obliczyć prędkość elektronu na pierwszej orbicie: [latex]v^2 = frac{ke^2}{mr_1}[/latex] [latex]v = sqrt{frac{ke^2}{mr_1}}[/latex] Podstawiamy dane i powinniśmy otrzymać wynik [latex]v = pm 2 cdot 10^6 frac{m}{s}[/latex] Podaną prędkość elektronu możemy także udowodnić korzystając z pierwszego postulatu Bohra, który mówi, że elektron może poruszać się tylko po takich dozwolonych orbitach, dla którego moment pędu jest równy wielokrotności zredukowanej stałej Plancka: [latex]mvr = n hbar[/latex] Wielokrotność oznacza tutaj tak naprawdę numer orbity, w naszym przypadku [latex]n = 1[/latex]. Zredukowana stała Plancka wynosi: [latex]hbar = frac{h}{2 pi}[/latex] W ostateczności uzyskamy wzór: [latex]mvr = nfrac{h}{2 pi}[/latex] Przekształcamy wzór i obliczamy prędkość: [latex]v = frac{nh}{2 pi m r_1}[/latex] Podstawiamy i powinniśmy otrzymać ten sam wynik. [latex]Zadanie 2.[/latex] [latex]A.[/latex] Rysunek w załączniku. [latex]B.[/latex] Gdy elektron przeskakuje na orbitę wyższą, to atom musi pochłonąć kwant promieniowania, czyli po prostu foton, o określonej długości fali. Musi go pochłonąć, by elektron miał dostatecznie dużo siły, żeby przeskoczyć na wyższą orbitę. Natomiast, gdy elektron przeskakuje z orbity wyższej na niższą, wówczas atom musi się pozbyć tej energii fotonu, innymi słowy wypromieniować foton. Energię pochłoniętego lub wyemitowanego fotonu możemy obliczyć, jako różnicę energii jaką elektron miał na orbicie wyższej do energii jaką miał na orbicie niższej. Na rysunku pierwszym widzimy, że elektron najpierw przeskoczył z orbity trzeciej na drugą. Tak więc energię fotonu [latex]E_f_1[/latex] obliczymy jako różnicę energii elektronu na orbicie trzeciej do energii na orbicie drugiej: [latex]E_f_1 = E_3 - E_2[/latex] Energię elektronu na [latex]n-tej[/latex] orbicie liczymy ze wzoru: [latex]E_n = -frac{13,6 eV}{n^2}[/latex] [latex]n[/latex], to numer orbity na, której znajduje się elektron. Dla orbity trzeciej wzór będzie wyglądał następująco: [latex]E_3 = -frac{13,6 eV}{3^3}[/latex] A dla orbity drugiej: [latex]E_2 = -frac{13,6 eV}{2^2}[/latex] Tak więc możemy podstawić do wzoru na energię fotonu [latex]E_f_1[/latex]: [latex]E_f_1 = E_3 - E_2[/latex] [latex]E_f_1 = -frac{13,6 eV}{3^3} - (-frac{13,6 eV}{2^2})[/latex] [latex]E_f_1 = -frac{13,6 eV}{3^3} + frac{13,6 eV}{2^2}[/latex] [latex]E_f_1 = frac{13,6 eV}{2^2} - frac{13,6 eV}{3^3}[/latex] Na razie nic nie podstawiajmy i patrzmy, co się dalej dzieje z elektronem. Po przejściu elektronu na orbitę drugą spada on na orbitę pierwszą, czyli do stanu podstawowego. Energię fotonu [latex]E_f_2[/latex] policzymy analogicznie do powyższej energii [latex]E_f_1[/latex], to również będzie różnica energii elektronu na orbicie wyższej do energii na orbicie niższej: [latex]E_f_2 = E_2 - E_1[/latex] [latex]E_f_2 = -frac{13,6 eV}{2^2} - (-13,6 eV)[/latex] [latex]E_f_2 = -frac{13,6 eV}{2^2} + 13,6 eV[/latex] [latex]E_f_2 = 13,6 eV - frac{13,6 eV}{2^2}[/latex] Całkowita energia fotonu, jaka była potrzebna do przejścia elektronu z orbity trzeciej na drugą i z orbity drugiej na pierwszą, będzie sumą energii [latex]E_f_1[/latex] i [latex]E_f_2[/latex]. Czyli sumą energii, jaka wypromieniował atom przy przejściu elektronu z orbity trzeciej na drugą i z orbity drugiej na pierwszą: [latex]E_f = E_f_1 + E_f_2[/latex] [latex]E_f = frac{13,6 eV}{2^2} - frac{13,6 eV}{3^3} + 13,6 eV - frac{13,6 eV}{2^2}[/latex] Jak zapewne się domyślasz da się także tę energię policzyć w prostszy sposób, wystarczy spojrzeć na rysunek 2., by stwierdzić, że nie trzeba się bawić w dwa wzoru, tylko jeden wzór wszystko wyjaśni. Wiedząc, że energia pochłoniętego lub wypromieniowanego fotonu jest równa różnicy energii na orbicie wyższej do niższej (bądź sumie na orbicie niższej do wyższej), zapiszemy wzór na energię fotonu [latex]E_f_3[/latex]: [latex]E_f_3 = E_3 - E_1[/latex] [latex]E_f_3 = -frac{13,6 eV}{3^3} - (- 13,6 eV)[/latex] [latex]E_f_3 = -frac{13,6 eV}{3^3} + 13,6 eV[/latex] [latex]E_f_3 = 13,6 eV - frac{13,6 eV}{3^3}[/latex] Czy tak, czy tak wynik wyjdzie dokładnie ten sam.
