[latex]Zadanie 1.[/latex]
[latex]Dane:[/latex]
[latex]R = 1,1 cdot 10^7 frac{1}{m}[/latex]
[latex]Szukane:[/latex]
[latex]lambda_{4
ightarrow 3}, lambda_{5
ightarrow 3}, lambda_{6
ightarrow 3}[/latex]
Z serią Paschena mamy do czynienia wtedy, gdy elektron spada z orbity wyższej na orbitę trzecią, czyli każdy przeskok elektronu z orbity [latex]4
ightarrow 3, 5
ightarrow 3, 6
ightarrow 3, ... , infty
ightarrow 3[/latex] jest związany z serią Paschena.
Pierwsze trzy linie serii Paschena, to przeskok elektronu z orbity [latex]4, 5[/latex] i [latex]6[/latex] na trzecią. Długość fali [latex]lambda[/latex] obliczymy ze wzoru Balmera (zwanego także równaniem Balmera-Rydberga):
[latex]frac{1}{lambda} = R(frac{1}{n^2} - frac{1}{m^2})[/latex]
[latex]n[/latex] i [latex]m[/latex], to numery orbit, gdzie [latex]m > n[/latex].
Tak więc, aby obliczyć pierwszą długość fali, za [latex]n[/latex] podstawimy [latex]3[/latex], a za [latex]m[/latex] cztery:
[latex]frac{1}{lambda_{4
ightarrow 3}} = R(frac{1}{3^2} - frac{1}{4^2})[/latex]
W tej chwili liczymy odwrotność długości fali [latex]frac{1}{lambda}[/latex], aby liczyć właściwą długość fali musimy odwrócić to równanie obustronnie:
[latex]lambda_{4
ightarrow 3} = frac{1}{R(frac{1}{3^2} - frac{1}{4^2})}[/latex]
Wystarczy sprowadzić do wspólnego mianownika, pomnożyć przez stałą Rydberga (podaną w danych) oraz podzielić.
Dla drugiej linii serii Paschena, czyli wtedy, gdy elektron przeskakuje z orbity piątej na trzecią otrzymamy równanie:
[latex]lambda_{5
ightarrow 3} = frac{1}{R(frac{1}{3^2} - frac{1}{5^2})}[/latex]
A dla ostatniej trzeciej linii:
[latex]lambda_{6
ightarrow 3} = frac{1}{R(frac{1}{3^2} - frac{1}{6^2})}[/latex]
[latex]Zadanie 2.[/latex]
[latex]Dane:[/latex]
[latex]r_1 = 53 pm = 53 cdot 10^{-12} m = 5,3 cdot 10^{-11} m[/latex]
[latex]Szukane:[/latex]
[latex]frac{r_4}{r_3}, |frac{E_4}{E_3}|[/latex]
Promień [latex]n-tej[/latex] orbity atomu liczymy ze wzoru:
[latex]r_n = r_1 n^2[/latex]
[latex]n[/latex] to dowolny numer orbity, tak więc dla trzeciej i czwartej orbity otrzymamy odpowiednio równania:
[latex]r_3 = r_1 cdot 3^2[/latex]
[latex]r_3 = 5,3 cdot 10^{-11} m cdot 9[/latex]
[latex]r_3 = 47,7 cdot 10^{-11} m[/latex]
[latex]r_4 = r_1 cdot 4^2[/latex]
[latex]r_4 =5,3 cdot 10^{-11} m cdot 16[/latex]
[latex]r_4 = 84,8 cdot 10^{-11} m[/latex]
Znając promienie orbity możemy obliczyć stosunek orbity czwartej do orbity trzeciej. Stosunek oznacza po prostu dzielenie, czyli mamy podzielić promień orbity czwartej przez orbitę trzecią i wynik, który wyjdzie nazywa się stosunkiem orbit:
[latex]frac{r_4}{r_3} = frac{84,8 cdot 10^{-11} m}{47,7 cdot 10^{-11} m}[/latex]
Skracamy metry oraz notację wykładniczą, czyli te dziesiątki:
[latex]frac{r_4}{r_3} = frac{84,8}{47,7}[/latex]
[latex]frac{r_4}{r_3} = 1,7[/latex]
Mamy gotowy wynik, teraz zajmiemy się stosunkiem energii elektronu na orbicie trzeciej i czwartej.
Energię elektronu na [latex]n-tej[/latex] orbicie liczymy ze wzoru:
[latex]E_n = -frac{13,6 eV}{n^2}[/latex]
[latex]n[/latex], to ponownie numer orbity. Energia elektronu na trzeciej i czwartej orbicie wynosi:
[latex]E_3 = -frac{13,6 eV}{3^2}[/latex]
[latex]E_3 = -frac{13,6 eV}{9}[/latex]
[latex]E_3 = -1,51 eV[/latex]
Wyciągamy wartość bezwzględną:
[latex]|E_3| = 1,51 eV[/latex]
To samo robimy dla orbity czwartej:
[latex]E_4 = -frac{13,6 eV}{4^2}[/latex]
[latex]E_4 = -frac{13,6 eV}{16}[/latex]
[latex]E_4 = -0,85 eV[/latex]
[latex]|E_4| = 0,85 eV[/latex]
Obliczamy stosunek:
[latex]|frac{E_4}{E_3}| = frac{0,85 eV}{1,51 eV}[/latex]
Skracamy elektronowolty i dzielimy:
[latex]|frac{E_4}{E_3}| = 0,56[/latex]
[latex]Zadanie 3.[/latex]
[latex]Dane:[/latex]
[latex]n_1 = 1[/latex]
[latex]n_2 = 2[/latex]
[latex]Szukane:[/latex]
[latex]E_f[/latex]
Gdy elektron przeskakuje z orbity wyższej na niższą, to atom wypromieniowuje kwant promieniowania, czyli po prostu foton. Natomiast, gdy elektron przeskakuje z orbity niższej na wyższą, to atom musi pochłonąć foton, tak by elektron miał wystarczająco siły, by się wspiąć na tą wyższą orbitę.
Foton, który atom pochłania lub wypromieniowuje nie może być dowolny, tylko o ściśle określonej długości fali. Energię pochłoniętego lub wypromieniowanego fotonu możemy obliczyć jako różnicę energii elektronu na orbicie wyższej do orbity niższej.
Tak więc energię fotonu, jaki atom wypromieniował przy przejściu elektronu z orbity drugiej na pierwszą obliczymy, jako różnicę energii elektronu na orbicie drugiej do energii elektronu na orbicie pierwszej:
[latex]E_f = E_2 - E_1[/latex]
Z zadania drugiego wiemy, jak liczymy energię elektronu na orbicie. Dla orbity pierwszej wzór będzie wyglądał następująco:
[latex]E_1 = -frac{13,6 eV}{1^2}[/latex]
[latex]E_1 = -13,6 eV[/latex]
A dla orbity drugiej:
[latex]E_2 = -frac{13,6 eV}{2^2}[/latex]
[latex]E_2 = -frac{13,6 eV}{4}[/latex]
Tak więc energię fotonu policzymy z ostatecznego wzoru:
[latex]E_f = -frac{13,6 eV}{4} - (-13,6 eV)[/latex]
[latex]E_f = -frac{13,6 eV}{4} + 13,6 eV[/latex]
[latex]E_f = 13,6 eV - frac{13,6 eV}{4}[/latex]
Sprowadzamy do wspólnego mianownika i zadanie zrobione.
[latex]Zadanie 4.[/latex]
[latex]Dane:[/latex]
[latex]n_5 =5 [/latex]
[latex]n_3 = 3[/latex]
[latex]h = 6,63 cdot 10^{-34} J cdot s[/latex]
[latex]c = 3 cdot 10^8 frac{m}{s}[/latex]
[latex]Szukane:[/latex]
[latex]lambda[/latex]
Zanim przejdziemy do zadania, odpowiedzmy sobie na pytanie, co to jest stan wzbudzony w atomie. Najprościej rzecz ujmując stan wzbudzony jest wtedy, gdy elektron jest na orbicie wyższej niż [latex]1[/latex], czyli wtedy, gdy nie znajduje się w stanie podstawowym. Elektron znajdujący się na orbitach [latex]n = 2, 3, 4, ..., infty[/latex] będzie się znajdował w stanie wzbudzonym.
Pierwszym poziomem stanu wzbudzonego jest orbita druga, drugim poziomem jest orbita trzecia, trzecim poziomem orbita czwarta i tak dalej.
Łatwo można odgadnąć, że elektron będący na czwartym poziomie wzbudzonym znajduje się na piątej orbicie, a spadając na drugi poziom, spada na orbitę trzecią.
Tak więc w zadaniu proszą nas o obliczenie długości fali emitowanego fotonu przez atom przy przeskoku elektronu z orbity piątej na trzecią.
Wiemy, że energię takiego fotonu możemy obliczyć jako różnicę energii elektronu na orbicie piątej do orbity trzeciej:
[latex]E_f = -frac{13,6 eV}{5^2} - (- frac{13,6 eV}{3^2})[/latex]
[latex]E_f = frac{13,6 eV}{3^2} - frac{13,6 eV}{5^2}[/latex]
Zauważmy jedną rzecz, że w tym momencie energię fotonu liczymy w elektronowoltach [latex][eV][/latex], aby móc obliczyć długość fali [latex]lambda[/latex] będziemy musieli obliczyć tę energię w dżulach [latex][J][/latex].
Jeden elektronowolt odpowiada [latex]1,6 cdot 10^{-19} J[/latex], tak więc:
[latex]13,6 eV = 21,8 cdot 10^{-19} J[/latex]
Wzór na energię fotonu możemy zapisać, jako:
[latex]E_f = frac{21,8 cdot 10^{-19} J}{3^2} - frac{21,8 cdot 10^{-19} J}{5^2}[/latex]
Obliczamy i otrzymujemy wynik energii fotonu. Energię fotonu możemy także obliczyć ze wzoru:
[latex]E_f = frac{hc}{lambda}[/latex]
[latex]h[/latex], to stała Plancka, a [latex]c[/latex] oznacza prędkość światła. Obie wartości tych stałych zostały zapisane w danych zadania.
Znając energię fotonu przekształcamy wzór, by móc obliczyć długość fali [latex]lambda[/latex]:
[latex]lambda = frac{hc}{E_f}[/latex]
Podstawiamy i obliczamy, a następnie sprawdzamy do jakiego zakresu promieniowania elektromagnetycznego należy długość fali. Dla ułatwienia dodaję tabelkę poniżej:
[latex]lambda[/latex]
promieniowanie gamma [latex]< 0,01 nm[/latex]
promieniowanie rentgenowskie [latex]0,01 nm - 10 nm[/latex]
ultrafiolet [latex]10 nm - 400 nm[/latex]
światło widzialne [latex]400 nm - 700 nm[/latex]
podczerwień [latex]700 nm - 1 mm[/latex]
mikrofale [latex]1 mm - 1 m[/latex]
fale radiowe [latex]1 m - 100 000 km[/latex]
