[latex]Zadanie 1.[/latex]
[latex]Dane:[/latex]
[latex]G = 6,67 cdot 10^{-11} frac{Nm^2}{kg^2}[/latex]
[latex]R_Z = 6 370 km = 6370 cdot 10^3 m = 6,37 cdot 10^6 m[/latex]
[latex]v = 3 cdot 10^8 frac{m}{s}[/latex]
[latex]Szukane:[/latex]
[latex]M_Z[/latex]
Gdy jakieś ciało krąży wokół planety, to działa na to ciało siła przyciągania grawitacyjnego [latex]F_g[/latex], która utrzymuje to ciało na orbicie, wyrażona wzorem:
[latex]F_g = Gfrac{Mm}{R^2}[/latex]
[latex]M[/latex], to masa planety lub innego obiektu, wokół którego porusza się ciało, a [latex]m[/latex] jest masą poruszającego się ciała.
Siła przyciągania grawitacyjnego sprawia, że ciało porusza się po okręgu, a główną siłą w przyrodzie powodującą ruch po okręgu jest siła dośrodkowa [latex]F_d[/latex], tak więc możemy stwierdzić, że siła przyciągania i siła dośrodkowa są sobie równe:
[latex]F_g = F_d[/latex]
Siłę dośrodkową opisuje wzór:
[latex]F_d = frac{mv^2}{r}[/latex]
Tak więc wniosek dla Ziemi:
[latex]Gfrac{M_Zm}{R_Z^2} = frac{mv^2}{r}[/latex]
[latex]r[/latex] jest odległością ciała od środka Ziemi, w zadaniu jest napisane, że to ciało porusza się przy powierzchni, tak więc możemy przyjąć, że odległość ciała od środka Ziemi jest równa promieniowi Ziemi [latex]R_Z[/latex]:
[latex]Gfrac{M_Zm}{R_Z^2} = frac{mv^2}{R_Z}[/latex]
Skracamy masę ciała [latex]m[/latex] i jeden promień Ziemi [latex]R_Z[/latex]:
[latex]Gfrac{M_Z}{R_Z} = v^2[/latex]
Przekształcamy wzór, by obliczyć masę Ziemi [latex]M_Z[/latex]:
[latex]M_Z = frac{v^2R_Z}{G}[/latex]
Podstawiamy dane i obliczamy masę Ziemi. Musimy jeszcze sprawdzić, czy przy takiej masie Ziemia zamieni się w czarną dziurę, do tego posłuży nam wzór na promień Schwarzschilda:
[latex]R_{schwarz} = frac{2GM}{c^2}[/latex]
Promień Schwarzschilda, to taki promień, przy której ciało zamienia się w czarną dziurę pod warunkiem, że nie zmienimy masy tego ciała. Dla Ziemi taki promień wynosi w zaokrągleniu [latex]9 mm[/latex], czyli zgniatamy Ziemię do kulki o promieniu [latex]9 mm[/latex] i mamy czarną dziurę. Nie zmieniliśmy masy Ziemi, a tylko jej promień.
Przy nowej masie Ziemi stanie się ona czarną dziurą, jeżeli jej promień będzie większy od [latex]6 370 km[/latex], to będzie oznaczało, że przy nowej masie Ziemia zamieni się w czarną dziurę.
[latex]Zadanie 2.[/latex]
Z pierwszego zadania wiemy, że siłę przyciągania grawitacyjnego wyrażamy wzorem:
[latex]F_g = Gfrac{m_1m_2}{r^2}[/latex]
Zauważ, że odległość [latex]r[/latex] między ciałami jest odwrotnie proporcjonalna do siły przyciągania:
[latex]F_g sim frac{1}{r^2}[/latex]
Oznacza to tyle, że jeśli zwiększymy odległość [latex]r[/latex] to zmniejszy się siła przyciągania i odwrotnie, jeśli siła przyciągania się zwiększa, to odległość musi się zmniejszyć. Innymi słowy odległość rośnie siła maleje, siła rośnie odległość maleje.
Jeżeli więc rozsuniemy te ciała na odległość pięć razy większą, czyli [latex]5r[/latex] to otrzymamy:
[latex]F_g sim frac{1}{(5r)^2}[/latex]
[latex]F_g sim frac{1}{25r^2}[/latex]
Wniosek nasuwa się sam, jeżeli rozsuniemy ciała na odległość pięć razy większą, to siła wzajemnego przyciągania zmaleje dwadzieścia pięć razy.
[latex]Zadanie 3.[/latex]
[latex]Dane:[/latex]
[latex]M = 3M_Z[/latex]
[latex]R = 3R_Z[/latex]
[latex]M_Z = 6 cdot 10^{24} kg[/latex]
[latex]R_Z = 6,37 cdot 10^6 m[/latex]
[latex]G = 6,67 cdot 10^{-11} frac{Nm^2}{kg^2}[/latex]
[latex]Szukane:[/latex]
[latex]g[/latex]
Przyspieszenie grawitacyjne możemy policzyć ze wzoru:
[latex]g = Gfrac{M}{R^2}[/latex]
Podstawiając za [latex]M[/latex] i [latex]R[/latex] dane z zadania otrzymamy ostateczny wzór:
[latex]g = Gfrac{3M_Z}{(3R_Z)^2}[/latex]
[latex]g = Gfrac{3M_Z}{9R_Z^2}[/latex]
Wystarczy podstawić dane i zadanie zrobione.
[latex]Zadanie 4.[/latex]
[latex]T_Z = 1 rok[/latex]
[latex]R_Z = 1 j.a. = 149 600 000 km[/latex]
[latex]T_M = 1,881 roku[/latex]
[latex]Szukane:[/latex]
[latex]R_M[/latex]
W tym zadaniu skorzystamy z trzeciego prawa Keplera, które mówi tyle, że stosunek kwadratu okresu obiegu planety wokół Słońca [latex]T^2[/latex] do sześcianu odległości tej planety od Słońca [latex]R^3[/latex] jest stały, czyli:
[latex]frac{T^2}{R^3} = const[/latex]
Oznacza to, że dla każdej planety naszego Układu Słonecznego zachodzi taka zależność. Gdy weźmiemy sobie jakiś okres obiegu planety wokół Słońca, podniesiemy go do kwadratu i podzielimy przez sześcian odległości tej planety od Słońca to otrzymamy jakąś liczbę. Dokładnie tę samą liczbę dostaniemy dla wszystkich planet w naszym układzie.
Nie ważne jaki okres planety i jej odległość od Słońca podstawimy do wzoru wynik zawsze będzie ten sam.
Skoro wynik jest ten sam dla każdej planety, to możemy przyrównać okres obiegu i odległość Ziemi od Słońca do okresu obiegu i odległości Marsa od Słońca:
[latex]frac{T_Z^2}{R_Z^3} = frac{T_M^2}{R_M^3}[/latex]
Mogliśmy tak zrobić, bo to tak jakbyśmy zapisali, że:
[latex]1 = 1[/latex]
Skoro mamy już wzór wystarczy go teraz przekształcić, by wyliczyć średnią odległość Marsa od Słońca [latex]R_M[/latex]:
[latex]R_M^3 = frac{T_M^2R_Z^3}{T_Z^2}[/latex]
[latex]R_M = sqrt[3]{frac{T_M^2R_Z^3}{T_Z^2}}[/latex]
[latex]R_M = R_Zsqrt[3]{frac{T_M^2}{T_Z^2}}[/latex]
Podstawiamy dane i gotowe.
