Natężenie wyznaczę metodą superpozycji.
Gęstość liniowa ładunku:
[latex]lambda= dfrac{Q}{L} = dfrac{Q}{2pi r} [/latex]
Natężenie pola pochodzące od ładunku dq:
[latex]dE= dfrac{1}{4pi varepsilon_0} cdot dfrac{dq}{z^2} [/latex]
Z twierdzenia Pitagorasa można wyznaczyć odległość z między punktem, a pierścieniem. Dodatkowo dq = λ·dL = λr·dα
[latex]dE= dfrac{lambda r}{4pi varepsilon_0} cdot dfrac{dalpha}{r^2+d^2} [/latex]
Jako że wektor dE jest pod kątem do osi pierścienia, a nas obchodzi tylko składowa równoległa do niej. Wynosi ona:
[latex]dE_r=dEcdotcoseta \ \ ext{gdzie:} \ \ coseta= dfrac{d}{z} = dfrac{d}{ sqrt{r^2+d^2} } [/latex]
Po wstawieniu do równania, otrzymamy:
[latex]dE_r= dfrac{lambda rd}{4pivarepsilon_0(r^2+d^2) sqrt{r^2+d^2} }dalpha=dfrac{lambda rd}{4pivarepsilon_0(r^2+d^2)^{3/2}}dalpha[/latex]
Całkujemy po całym pierścieniu:
[latex]E_r=dfrac{lambda rd}{4pivarepsilon_0(r^2+d^2)^{3/2}}displaystyle{intlimits^{2pi}_0}dalpha=dfrac{lambda rd}{4pivarepsilon_0(r^2+d^2)^{3/2}}cdot2pi[/latex]
Po podstawieniu λ, ostatecznie otrzymamy:
[latex]E_r=dfrac{Qd}{4pivarepsilon_0(r^2+d^2)^{3/2}}[/latex]
