Daje naj za dokładne rozwiązanie zadań, wiecie, żeby każdy zrozumiał z skąd co się wzięło ;) 1.Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny ma długość [latex] sqrt{3} [/latex]. Oblicz pole tego trójkąta. 2.Pole trójkąta równobocznego wynosi [latex]1

1. Promień r okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku a wyraża się wzorem: [latex]r=dfrac{asqrt3}{6}[/latex] Rozwiązujemy równanie: [latex]dfrac{asqrt3}{6}=sqrt3 |cdot6\\asqrt3=6sqrt3 |:sqrt3\\a=6[/latex] Pole trójkąta równobocznego wyraża się wzorem: [latex]P=dfrac{a^2sqrt3}{4}[/latex] Liczymy: [latex]P=dfrac{6^2sqrt3}{4}=dfrac{36sqrt3}{4}=9sqrt3[/latex] 2. [latex]P=dfrac{a^2sqrt3}{4}; P=12sqrt3\\dfrac{a^2sqrt3}{4}=12sqrt3 |cdot4\\a^2sqrt3=48sqrt3 |:sqrt3\\a^2=48\\a=sqrt{48}\\a=sqrt{16cdot3}\\a=sqrt{16}cdotsqrt3\\a=4sqrt3[/latex] Promień R okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku a wyraża się wzorem: [latex]R=dfrac{asqrt3}{3}[/latex] Liczymy: [latex]R=dfrac{4sqrt3cdotsqrt3}{3}=dfrac{4cdot3}{3}=4[/latex] 3. Skorzystamy ze wzoru: [latex]P=dfrac{1}{2}absinalpha[/latex] [latex]a=3sqrt3; b=4; alpha=60^o[/latex] Podstawiamy: [latex]\P=dfrac{1}{2}cdot3sqrt3cdot4cdotsin60^o=6sqrt3cdotdfrac{sqrt3}{2}=3cdot3=9[/latex]

[latex]1.\r = sqrt{3}\h = 3r\h = 3sqrt{3}\oraz\h = frac{asqrt{3}}{2}\\frac{asqrt{3}}{2} = 3sqrt{3} |cdotfrac{2}{sqrt{3}}\\a = 6\\P = frac{1}{2}ah=frac{1}{2}cdot6cdot3sqrt{3}= 9sqrt{3}[/latex] [latex]2.\P = 12 sqrt{3}\oraz\P = frac{a^{2}sqrt{3}}{4}\\frac{a^{2}sqrt{3}}{4} = 12sqrt{3} |cdotfrac{4}{sqrt{3}}\\a^{2} = 48\\a = sqrt{48} = sqrt{16cdot3} = 4sqrt{3}\\h = frac{asqrt{3}}{2} = frac{4sqrt{3}cdotsqrt{3}}{2} = 2cdot3 = 6\\R = frac{2}{3}h = frac{2}{3}cdot6 = 4 - promien okregu opisanego[/latex] [latex]3.\a = 3sqrt{3}\b = 4\alpha = 60^{o}\sin60^o} = frac{sqrt{3}}{2}\\P = frac{1}{2}acdot bcdot sinalpha = frac{1}{2}cdot3sqrt{3}cdot4cdotfrac{sqrt{3}}{2}=3sqrt{3}cdotsqrt{3}=3cdot3 = 9[/latex]