Daje naj za dokładne rozwiązanie zadań, wiecie, żeby każdy zrozumiał z skąd co się wzięło ;) 1. Oblicz pole kwadratu, w którym przekątna jest o 2 dłuższa od jego boku. 2.Dany jest trójkąt prostokątny. Jeden z jego kątów ostrych ma miarę 30°. Promień o

1. Pole kwadratu o boku a i przekątnej d możemy policzyć na dwa sposoby: [latex]P=a^2; P=dfrac{d^2}{2}[/latex] Budujemy i rozwiązujemy równanie: [latex]a^2=dfrac{(a+2)^2}{2}[/latex] Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia: [latex](a+b)^2=a^2+2ab+b^2[/latex] [latex]a^2=dfrac{a^2+4a+4}{2} |cdot2\\2a^2=a^2+4a+4\\2a^2-a^2-4a-4=0\\a^2-4a-4=0[/latex] Obliczmy wartość wyróżnika trójmianu kwadratowego: [latex]Delta=b^2-4ac\\a^2-4a-4Rightarrow a=1; b=-4; c=-4\\Delta=(-4)^2-4cdot1cdot(-4)=16+16=32\\sqrtDelta=sqrt{32}=sqrt{16cdot2}=sqrt{16}cdot2=4sqrt2[/latex] Liczymy pierwiastki równania: [latex]a_1=dfrac{-b-sqrtDelta}{2a}; a_2=dfrac{-b+sqrtDelta}{2a}\\a_1=dfrac{4-4sqrt2}{2cdot1}=dfrac{4-4sqrt2}{2}=2-2sqrt2 < 0\\a_2=dfrac{4+4sqrt2}{2cdot1}=dfrac{4+4sqrt2}{2}=2+2sqrt2[/latex] Liczymy pole: [latex]P=a^2\\P=(2+2sqrt2)^2=2^2+2cdot2cdot2sqrt2+(2sqrt2)^2\\4+8sqrt2+8=12+8sqrt2[/latex] 2. Promień R okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym stanowi połowę długości przeciwprostokątnej. Oznaczmy sobie a,b - przyprostokątne trójkąta, c - przeciwprostokątna Mamy c = 2R, stąd c = 2 ·2cm = 4cm. W trójkącie prostokątnym o kątach 90°; 30° i 60° są zależności między bokami. Przyjmijmy, że przyprostokątna a leży przy kącie 60°, wówczas: c = 2a i b = a√3 Czyli: a = 4cm : 2 = 2cm b = 2√3 cm Promień r okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny liczymy ze wzoru: r = (a + b - c) : 2 r = (2 + 2√3 - 4) : 2 = (2√3 - 2) : 2 = (√3 - 1) [cm] 3. Rysunek poglądowy w załączniku. Pole  trapezu liczymy ze wzoru: [latex]P=dfrac{a+b}{2}cdot h[/latex] Skorzystamy z własności trójkąta prostokątnego jak w zadaniu 2. x = 4 : 2 = 2 h = 2√3 Liczymy pole mając dane: [latex]a=2sqrt3+2\\b=2sqrt3\\h=2sqrt3\\P=dfrac{2sqrt3+2+2sqrt3}{2}cdot2sqrt3=dfrac{4sqrt3+2}{2}cdot2sqrt3=(2sqrt3+1)cdot2sqrt3\\=4cdot3+2sqrt3=12+2sqrt3[/latex]

[latex]1.\d = asqrt{2}\a+2 = asqrt{2}\\asqrt{2}-a= 2\\a(sqrt2}-1) = 2 /:(sqrt{2}-1)\\a = frac{2}{sqrt{2}-1}cdotfrac{sqrt{2}+1}{sqrt{2}+1} = frac{2(sqrt{2}+1)}{2-1}= frac{2(sqrt{2}+1)}1} = 2sqrt{2}+2\\P = a^{2} = (2sqrt{2}+2)^{2}= (2sqrt{2})^{2}+2cdot2sqrt{2}cdot2 + 2^{2} = 8+8sqrt{2}+4 = 12 + 8sqrt{2}[/latex] [latex]R = 2 cm\R = frac{c}{2}\c = 2R = 2cdot2 = 4 cm[/latex] Z zależności boków w trójkącie prostokątnym o kątach ostrych 30° i 60° mamy: c = 2a = 4 cm a = c/2 = 4/2 = 2 cm b = a√3 = 2√3 cm Promień okręgu wpisanego liczymy wg wzoru: [latex]r = frac{a+b-c}{2}=frac{2+2sqrt{3}-4}{2} = frac{2sqrt{3}-2}{2}=sqrt{3}-1[/latex] [latex]3.\b = 2sqrt{3}\c = 4\alpha = 60^{o}\P = ?[/latex] Wysokość opuszczona z wierzchołka krótszej podstawy dzieli ten trapez na prostokąt o bokach 2√3  i  h, oraz trójkąt prostokątny o katach 30° i 60°, skąd: podstawa tego trójkąta x = 2 wysokość h = a√3 = 2√3 a = 2√3 + 2 Pole trapezu: [latex]P = frac{a+b}{2}cdot h\\P = frac{2sqrt{3}+2+2sqrt{3}}{2}cdot2sqrt{3} = (4sqrt{3}+2)cdotsqrt{3} = 12 + 2sqrt{3}[/latex]