zad - ile wynosi predkosc mezonu ktorego energia kinetyczna jest 3 razy wieksza od energii spoczynkowej

[latex]Dane:[/latex] [latex]E_k = 3E_0[/latex] [latex]c = 3 cdot 10^8 frac{m}{s}[/latex] [latex]Szukane:[/latex] [latex]v[/latex] Energia spoczynkowa [latex]E_0[/latex], to iloczyn masy spoczynkowej [latex]m_0[/latex] i prędkości światła [latex]c[/latex] podniesionej do kwadratu: [latex]E_0 = m_0c^2[/latex] Mając daną energię spoczynkową [latex]E_0[/latex] i energię kinetyczną [latex]E_k[/latex] możemy zapisać wzór na energię całkowitą [latex]E[/latex], który będzie sumą energii spoczynkowej i energii kinetycznej: [latex]E = E_0 + E_k[/latex] Z treści zadania wiemy, że energia kinetyczna jest trzy razy większa od energii spoczynkowej: [latex]E_k = 3E_0[/latex] [latex]E_k = 3m_0c^2[/latex] Tak więc podstawiając do wzoru na energię całkowitą: [latex]E = m_0c^2 + 3m_0c^2[/latex] [latex]E = 4m_0c^2[/latex] Energia całkowita, to najpopularniejszy wzór w fizyce: [latex]E = mc^2[/latex] [latex]m[/latex], to masa relatywistyczna i nie należy jej mylić z masą spoczynkową [latex]m_0[/latex] Masa relatywistyczna to iloczyn masy spoczynkowej i czynnika Lorentza [latex]gamma[/latex]: [latex]m = m_0 gamma[/latex] Czynnik Lorentza opisuje się wzorem: [latex]gamma = frac{1}{sqrt{1 - frac{v^2}{c^2}}}[/latex] Tak więc masa relatywistyczna jest określana wzorem: [latex]m = m_0 frac{1}{sqrt{1 - frac{v^2}{c^2}}}[/latex] Wiemy, że energia całkowita jest równa [latex]mc^2[/latex], a z drugiej strony jest ona równa [latex]4m_0c^2[/latex]. Jeżeli jakąś wielkość możemy wyrazić dwoma wzorami, to te wzory możemy do siebie przyrównać: [latex]mc^2 = 4m_0c^2[/latex] Podstawmy za [latex]m[/latex] powyższe równanie: [latex]m_0 frac{1}{sqrt{1 - frac{v^2}{c^2}}} c^2 = 4m_0c^2[/latex] Skracamy [latex]m_0[/latex] i [latex]c^2[/latex]: [latex]frac{1}{sqrt{1 - frac{v^2}{c^2}}} = 4[/latex] Żebyśmy nie mieli tego pierwiastka w mianowniku, to możemy obustronnie odwrócić to równanie i uzyskamy: [latex]sqrt{1 - frac{v^2}{c^2}} = frac{1}{4}[/latex] Podnosimy obustronnie do kwadratu, by pozbyć się pierwiastka: [latex]1 - frac{v^2}{c^2} = frac{1}{16}[/latex] Po lewej stronie sprowadzamy do wspólnego mianownika: [latex]frac{c^2 - v^2}{c^2} = frac{1}{16}[/latex] Pozbywamy się mianownika [latex]c^2[/latex]: [latex]c^2 - v^2 = frac{1}{16}c^2[/latex] I przenosimy [latex]c^2[/latex] na drugą stronę: [latex]-v^2 = frac{1}{16}c^2 - c^2[/latex] [latex]v^2 = -frac{1}{16}c^2 + c^2[/latex] [latex]v^2 = c^2 - frac{1}{16}c^2[/latex] [latex]v^2 = frac{15}{16}c^2[/latex] Pierwiastkujemy, by otrzymać wzór na prędkość [latex]v[/latex], a nie kwadrat tej prędkości: [latex]v = frac{sqrt{15}}{4}c[/latex] Wystarczy podstawić dane i zadanie zrobione.