[latex]a)[/latex]
[latex]Dane:[/latex]
[latex]r_1 = 53 pm = 5,3 cdot 10^{-11} m[/latex]
[latex]n = 2[/latex]
[latex]Szukane:[/latex]
[latex]r_2[/latex]
Promień [latex]n-tej[/latex] orbity atomu liczymy ze wzoru:
[latex]r_n = r_1 n^2[/latex]
[latex]r_1[/latex], to promień pierwszej orbity, a [latex]n[/latex] jest numerem orbity, której promień liczymy. W naszym przypadku jest to druga orbita.
Promień drugiej orbity będzie zatem określony wzorem:
[latex]r_2 = r_1 2^2[/latex]
Podstawiamy dane i gotowe.
[latex]b)[/latex]
[latex]Dane:[/latex]
[latex]n = 2[/latex]
[latex]m = 9,11 cdot 10^{-31} kg[/latex]
[latex]h = 6,63 cdot 10^{-34} J cdot s[/latex]
[latex]v_1 = 2,2 cdot 10^6 frac{m}{s}[/latex]
[latex]Szukane:[/latex]
[latex]v_2[/latex]
Prędkość elektronu na drugiej orbicie możemy policzyć na kilka sposobów, przedstawię te dwa najkrótsze.
Pierwszym sposobem, jakim możemy obliczyć prędkość tego elektronu, to skorzystanie z równania wynikającego z pierwszego postulatu Bohra, które wygląda następująco:
[latex]mvr = n hbar[/latex]
[latex]hbar[/latex] nazywa się zredukowaną stałą Plancka, która wynosi:
[latex]hbar = frac{h}{2 pi}[/latex]
[latex]n[/latex] jest numerem orbity.
Mamy obliczyć prędkość elektronu na drugiej orbicie, tak więc potrzebujemy znać promień tej drugiej orbity, którą obliczyliśmy w pierwszym podpunkcie:
[latex]mv_2 r_2 = frac{nh}{2 pi}[/latex]
Przekształcamy wzór, by obliczyć prędkość elektronu na drugiej orbicie:
[latex]v_2 = frac{nh}{2 pi m r_2}[/latex]
Podstawiamy dane.
Drugi sposób jest zdecydowanie krótszy, ponieważ prędkość elektronu na dowolnej [latex]n-tej[/latex] orbicie atomu możemy wyliczyć ze wzoru:
[latex]v_n = frac{v_1}{n}[/latex]
[latex]v_1[/latex] jest prędkością elektronu na pierwszej orbicie, a [latex]n[/latex] numerem orbity.
Prędkość elektronu na drugiej orbicie określimy równaniem:
[latex]v_2 = frac{v_1}{2}[/latex]
Pozostaje nam tylko podstawić.
[latex]c)[/latex]
[latex]Dane:[/latex]
[latex]n = 2[/latex]
[latex]Szukane:[/latex]
[latex]E_2[/latex]
Energię elektronu na [latex]n-tej[/latex] orbicie liczymy ze wzoru:
[latex]E_n = -frac{13,6 eV}{n^2}[/latex]
Możemy ją także obliczyć wzorem:
[latex]E_n = -frac{21,76 cdot 10^{-19} J}{n^2}[/latex]
Podałem dwa te same wzory ze zmienionymi wartościami ponieważ proszą nas o obliczenie tej energii w dżulach [latex][J][/latex] i elektronowoltach [latex][eV][/latex].
[latex]n[/latex] jest numerem orbity. Dla drugiej orbity wzory będą wyglądać następująco:
[latex]E_2 = -frac{13,6 eV}{2^2}[/latex]
[latex]E_2 = -frac{21,76 cdot 10^{-19} J}{2^2}[/latex]
Obliczamy i gotowe.
[latex]d)[/latex]
[latex]Dane:[/latex]
[latex]n_1 = 1[/latex]
[latex]n_2 = 2[/latex]
[latex]Szukane:[/latex]
[latex]E_f[/latex]
Gdy elektron przeskakuje z orbity niższej na wyższą, to atom musi pochłonąć kwant promieniowania elektromagnetycznego, czyli po prostu foton o określonej długości fali [latex]lambda[/latex]. Atom musi pochłonąć ten foton po to, by elektron miał wystarczająco dużo siły, że wspiąć się na wyższą orbitę.
Natomiast, gdy elektron chce przeskoczyć z orbity wyższej na niższą, to atom musi się pozbywać nadmiaru energii, jaką posiada, czyli wypromieniować foton o danej długości fali, aby elektron mógł swobodnie przeskoczyć na niższą orbitę.
Energię fotonu, jaki atom musi pochłonąć lub wypromieniować możemy obliczyć, jako różnicę energii elektronu na orbicie wyższej do energii elektronu na orbicie niższej.
Wiemy już, jak liczymy energię elektronu na dowolnej orbicie, możemy zatem przedstawić energię elektronu na orbicie drugiej:
[latex]E_2 = -frac{13,6 eV}{(n_2)^2}[/latex]
[latex]E_2 = -frac{13,6 eV}{2^2}[/latex]
[latex]E_2 = -frac{13,6 eV}{4}[/latex]
A także na orbicie pierwszej:
[latex]E_1 = -frac{13,6 eV}{(n_1)^2}[/latex]
[latex]E_1 = -frac{13,6 eV}{1^2}[/latex]
[latex]E_1 = -13,6 eV[/latex]
Jak powiedzieliśmy energię fotonu możemy obliczyć jako różnicę energii elektronu. W naszym przypadku, jako różnicę energii elektronu na drugiej orbicie minus energia elektronu na pierwszej orbicie:
[latex]E_f = E_2 - E_1[/latex]
[latex]E_f = -frac{13,6 eV}{4} - (-13,6 eV)[/latex]
[latex]E_f = -frac{13,6 eV}{4} + 13,6 eV[/latex]
[latex]E_f = 13,6 eV - frac{13,6 eV}{4}[/latex]
Obliczamy i gotowe.
