any trójkąt ABC o wierzchołkach w punktach: A = (2,-1), B = (6,7), C = (2,4) Obwód ΔABCO = a + b + c, gdzie a, b, c to długość boków ΔABC Długość odcinka o końcach w punktach A = (x₁; y₁) i B = (x₂; y₂) wyraża się wzorem: Zatem: Stąd: a) Równanie środkowej boku BCŚrodkowa trójkąta to prosta zawierająca wierzchołek trójkąta i środek przeciwległego boku. Wierzchołkiem przeciwległym do boku BC jest punkt A, zatem musimy znaleźć środek boku BC, czyli punkt D i napisać równanie prostej przechodzącej przez punkty A i D. Środek odcinka o końcach w punktach A = (x₁; y₁) i B = (x₂; y₂) ma współrzędne: Zatem środek D boku BC ma współrzędne: Równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty A = (x₁; y₁) i B = (x₂; y₂): Stąd równanie środkowej boku BC, czyli prostej AD to: b) Równanie symetralnej boku ABSymetralna boku trójkąta to prosta prostopadła do tego boku i przechodząca przez jego środek. Zatem należy wyznaczyć współrzędne środka E boku AB i napisać równanie prostej prostopadłej do prostej zawierającej bok AB i przechodzącej przez punkt E. Współczynniki kierunkowe prostych prostopadłych określonych wzorami y₁ = a₁x + b₁ i y₂ = a₂x + b₂ spełniają równanie: Środek E boku AB ma współrzędne: Prosta AB ma równanie: Symetralna boku AB, czyli prosta y = ax + b jest prostopadła do prostej y = 2x - 5, zatem współczynniki kierunkowe tych prostych spełniają równanie: więc symetralna boku AB ma postać: i przechodzi przez punkt E = (4, 3), czyli współrzędne tego punktu spełniają to równanie, stąd: Zatem równanie symetralnej boku AB to: c) Równanie prostej zawierającej wysokość poprowadzoną z wierzchołka AWysokość trójkąta to prosta zawierająca jego wierzchołek i prostopadła do prostej zawierającej przeciwległy bok. Przeciwległym bokiem do wierzchołka A jest bok BC, zatem musimy napisać równanie prostej prostopadłej do prostej zawierającej bok BC i przechodzącej przez punkt A. Prosta BC ma równanie: Prosta zawierająca wysokość poprowadzoną z wierzchołka A, czyli prosta y = ax + b jest prostopadła do prostej y = ¾x + 2½, zatem współczynniki kierunkowe tych prostych spełniają równanie: więc prosta zawierająca wysokość poprowadzoną z wierzchołka A ma postać: i przechodzi przez punkt A = (2, - 1), czyli współrzędne tego punktu spełniają to równanie, stąd: Zatem równanie prostej zawierającej wysokość poprowadzoną z wierzchołka A to: Pole ΔABCTrójkąt ABC jest to trójkąt równoramieny: |AB| = 4√5, |BC| = |AC| = 5Zatem, jeśli a = |AB| = 4√5 to h = |CE|
