Mata na szybko !!!!!! 53 pkt 6.183: Funkcja F jest funkjcą homograficzną określoną wzorem F(x)=[latex] frac{2x+b}{x-3} [/latex] . Wyznacz wartość wspołczynnika b, jeśli wiadomo, że dla argumentu [latex] sqrt{3} [/latex] wartość funkcji wynosi -1[latex]

Z treści zadania wiemy, że: [latex]F(sqrt{3})=-1frac{1}{2}-frac{7sqrt{3}}{6}[/latex] Podstawmy więc we wzorze funkcji F(x) wartość x=√3 i wyznaczmy b. [latex]dfrac{2x+b}{x-3}=-1dfrac{1}{2}-dfrac{7sqrt{3}}{6}\\\ dfrac{2cdotsqrt{3}+b}{sqrt{3}-3}=-1dfrac{1}{2}-dfrac{7sqrt{3}}{6}\\\ dfrac{2sqrt{3}+b}{sqrt{3}-3}=-dfrac{3}{2}-dfrac{7sqrt{3}}{6}\\\ dfrac{2sqrt{3}+b}{sqrt{3}-3}=-dfrac{9}{6}-dfrac{7sqrt{3}}{6}\\\ dfrac{2sqrt{3}+b}{sqrt{3}-3}=dfrac{-9-7sqrt{3}}{6} [/latex] [latex](2sqrt{3}+b)cdot6=(sqrt{3}-3)cdot(-9-7sqrt{3})\\ 12sqrt{3}+6b=-9sqrt{3}-7sqrt{3}cdotsqrt{3}+27+21sqrt{3}\\ 12sqrt{3}+6b=-9sqrt{3}-21+27+21sqrt{3}\\ 12sqrt{3}+6b=6+12sqrt{3}\\6b=6+12sqrt{3}-12sqrt{3}\\6b=6quad|:6\\oxed{b=1}[/latex] Wzór funkcji F jest więc postaci: [latex]F(x)=dfrac{2x+1}{x-3}[/latex] Żeby sprawdzić, czy do wykresu funkcji F należy punkt B, musimy zobaczyć, czy: [latex]F(sqrt{2}+4)=7sqrt{2}-5[/latex] Obliczmy więc: [latex]F(sqrt{2}+4)=dfrac{2cdot(sqrt{2}+4)+1}{sqrt{2}+4-3}=dfrac{2sqrt{2}+8+1}{sqrt{2}+1}=dfrac{2sqrt{2}+9}{sqrt{2}+1}=\\\ =dfrac{2sqrt{2}+9}{sqrt{2}+1}cdotdfrac{sqrt{2}-1}{sqrt{2}-1}=dfrac{(2sqrt{2}+9)cdot(sqrt{2}-1)}{(sqrt{2})^2-1^2}=dfrac{4-2sqrt{2}+9sqrt{2}-9}{2-1}=\\\ =dfrac{-5+7sqrt{2}}{1}=oxed{7sqrt{2}-5}[/latex] Stąd możemy wywnioskować, że punkt B należy do wykresu funkcji F.