Samolot leci poziomo z prędkością 1440 km/h na wysokości 20 km. Gdy samolot przelatuje nad stanowiskiem działa przeciwlotniczego, z działa zostaje wystrzelony pocisk. Jaka powinna być minimalna prędkość V0 pocisku i kąt α pomiędzy kierunkiem wystrzału a

[latex]Dane:\ v_s = 1440 km/h = 400 m/s\ H_s = 20 km = 2*10^4 m[/latex] Aby pocisk uderzył w samolot jego współrzędne x i y muszą być takie same jak pocisku (tu współrzędna x będzie zapisana jako z - zasięg, a współrzędna y - jako H - wysokość). Czas ruchu samolotu i wystrzelonego pocisku są równe, a ruch zaczyna się w tym samym punkcie 0 na osi x. Wiemy, że samolot porusza się ruchem jednostajnym na stałej wysokości, pokonaną przez niego drogę w funkcji czasu możemy zapisać jako: [latex]z_s(t) = v_st[/latex] Drogę pokonaną przez pocisk możemy zapisać w ten sam sposób - prędkością powodującą ruch po osi x jest prędkość składowa pozioma: [latex]z_p(t) = v_{0_x}t = v_0cos alpha t [/latex] Alfa (α) to kąt między prędkością pocisku a poziomem. Poszukujemy minimalnej prędkości, którą trzeba nadać pociskowi, więc jest to prędkość, która pozwoli osiągnąć wysokość samolotu i będzie to najwyższa możliwa wysokość. Wyprowadzenie wzoru na wysokość maksymalną: [latex]H(t) = v_{0_y}t - frac{gt^2}{2} \ v_y(t) = v_{0_y} - gt \ \ 0 = v_{0_y} - gt \ t = frac{v_{0_y}}{g} \ \ H_{max} = v_{0_y}frac{v_{0_y}}{g} - frac{gfrac{v^2_{0_y}}{g^2}}{2} = frac{v_{0_y}^2}{g} - frac{v_{0_y}^2}{2g} = frac{v_{0_y}^2}{2g} = frac{v_0^2sin^2 alpha }{2g} [/latex] Porównajmy teraz równania zasięgów tych ciał (miejsce gdzie osiągną ten sam punkt na osi x): [latex]z_s = z_p \ v_st = v_0cos alpha t \ v_s = v_0cos alpha \ \ v_0 = frac{v_s}{cos alpha } [/latex] Wiemy też, że maksymalna wysokość pocisku równa się wysokości samolotu - do tego równia podstawmy wartość prędkości początkowej pocisku wyliczonej powyżej: [latex]H_{max} = H_s = frac{v_0^2sin^2 alpha }{2g} = frac{ frac{v_s^2}{cos^2 alpha }sin^2 alpha }{2g} = frac{v_s^2tg^2 alpha }{2g} \ \ tg^2 alpha = frac{2gH_s}{v_s^2} = frac{2*10*20000}{400^2} = 2,5 \ tgalpha = frac{ sqrt{10} }{2} \ alpha = 57,688^o [/latex] Obliczyliśmy już kąt wystrzału teraz tylko prędkość początkową: [latex]v_0 = frac{v_s}{cosalpha} = 748,32 m/s [/latex]