a.) Nazwij przemiany:
Są 4 rodzaje przemian gazu doskonałego przerabianych na lekcjach fizyki:
- izobaryczna - stałe ciśnienie (p = const.)
- izochoryczna - stała objętość (V = const.)
- izotermiczna - stała temperatura (T = const.)
- adiabatyczna - nie zachodzi wymiana ciepła z otoczeniem
Zajmiemy się tymi 3 pierwszymi:
Ze wzoru Clapeyrona:
[latex]pV = nRT\ frac{pV}{T} = nR\ frac{pV}{T} = const. [/latex]
Dla danej przemiany ilość moli gazu jest niezmienna, a R to stała dlatego możemy zapisać taka zależność. Jednak w każdej z tych 3 przemian jeden z tych trzech parametrów też jest stały dlatego pozbywamy się go z równania i dla:
- przemiany izobarycznej - [latex] frac{V}{T} = const. [/latex]
- przemiany izochorycznej - [latex] frac{p}{T} = const. [/latex]
- przemiany izotermicznej - [latex]pV = const.[/latex]
Wracamy do zadania.
Przemiany:
1 - 2 - izochoryczna (V = const.)
2 - 3 - izobaryczna (p = const.)
3 - 1 - nie jest to żadna z "izo-" przemian i nie jest to przemiana adiabatyczna
b.) Ile molów gazu poddano cyklowi przemian?
Tą część rozwiązujemy z równania Clapeyrona. Znamy p, V i T początkowe (nie będę już ich przepisywał, są w formie podstawowej jednostek) i znamy wartość stałej R ([latex]R = 8,31 frac{J}{mol*K} [/latex]).
[latex]pV = nRT\ n = frac{pV}{RT} = frac{10^6*0,1}{260*8,31} = 46,28 mol [/latex]
c.) Nie wiem dokładnie o co chodzi w tym podpunkcie, ale równania stanu w punkcie 2 i 3 wyglądałyby następująco
2:
[latex] frac{p_2V_2}{T_2} = const. \ \ p_2 = 2p_1\ V_2 = V_1 \ \ [/latex]
Z tego równania stanu wynika, że: [latex]T_2 = 2T_1[/latex]
3:
[latex] frac{p_3V_3}{T_3} = const. \ \ p_3 = 2p_1\ v_3 = 4V_1 [/latex]
Z tego równania stanu wynika, że: [latex]T_3 = 8T_1[/latex]
(Jeśli nie o to chodziło to przepraszam, ale nie mam innych pomysłów)
d.)
Przemiana 1 - 2. - izochoryczna:
[latex] frac{p}{T} = const. \ V = const.\ frac{p_1}{T_1} = frac{p_2}{T_2}\ T_2 = frac{p_2T_1}{p_1} = 2T_1 = 520 K \ p_2 = 2p_1 = 2*10^6 Pa\ V_2 = V_1 = 0,1 m^3 [/latex]
Przemiana 2 - 3 - izobaryczna:
[latex] frac{V}{T} = const.\ p = const.\ frac{V_2}{T_2} = frac{V_3}{T_3}\ T_3 = frac{V_3T_2}{V_2} = frac{4V_1*2T_1}{V_1} = 8T_1 = 2080 K\ V_3 = 4V_1 = 0,4 m^3\ p_3 = p_2 = 2*10^6 Pa [/latex]
Przemiana 3 - 1 - przemiana gazowa:
Dla niej można zapisać jedynie ogólną wersje:
[latex] frac{pV}{T} = const.\ frac{p_3V_3}{T_3} = frac{2p_1*4V_1}{8T_1} = frac{p_1V_1}{T_1} [/latex]
Czyli wszystko się zgadza
e.) W załączniku
f.) Praca w cyklu przemian:
Oblicza się ją ze wzoru:
[latex]W = -pDelta V[/latex], ale jest ona także równa co do wartości (bez plusa lub minusa) polu pod wykresem p(V) przemiany:
W naszym przypadku praca będzie ujemna (ponieważ przemiana izobaryczna zwiększa temperaturę i objętość) i równa co do wartości polu trójkąta między liniami przemian, ponieważ jest to różnica pól pod wykresem przemiany 2 - 3 i przemiany 3 - 1. Pole to jest równe ilości pracy więcej, która została wykonana przez układ w przemianie 2 - 3 (prace wykonał układ - jest ujemna), niż została wykonana nad układem w przemianie 3 - 1 (prace wykonano nad układem - jest dodatnia). Ostatecznie:
[latex]W = frac{-(2p_1 - p_1)(4V_1 - V_1) }{2} = -1,5p_1V_1 = -150000 J = -150 kJ [/latex]
g.) Praca wykonana w czasie przemian jest równa różnicy pomiędzy ciepłem pobranym (przemiany 1-2 i 2-3) i oddanym (przemiana 3-1)
Brakuje informacji iloatomowy jest gaz, więc zapewne chodzi o gaz jednoatomowy.
W gazie jednoatomowym ciepło molowe przy stałej objętości jest równe:
[latex]C_v = frac{3}{2}R [/latex],
a wiemy także o zależności między ciepłem molowym przy stałej objętości i przy stałym ciśnieniu:
[latex]C_p = C_v + R[/latex]
Ciepło pobrane:
Przemiana 1 - 2:
W przemianie izochorycznej ciepło oblicza się ze wzoru:
[latex]Q = nC_vDelta T[/latex],
podstawiamy:
[latex]Q_{1-2} = frac{3}{2}nR(2T_1 - T_1) = 1,5*8,31*46,28*260 = 149891,625 J = 150000 J = 150 kJ [/latex]
Przemiana 2 - 3:
W przemianie izobarycznej ciepło obliczmy ze wzoru:
[latex]Q = nC_pDelta T[/latex],
podstawiamy:
[latex]Q_{2-3} = frac{5}{2}nR(8T_1 - 2T_1) = 2,5*46,28*8,31*6*260 = 1499888,52 J\ = 1500000 J = 1500 kJ[/latex]
Tyle wynoszą ciepła pobrane.
Ciepło oddane:
Ciepło oddane podczas przemiany 3 - 1, możemy obliczyć ze wzoru:
[latex]Q_{pobrane} - Q_{oddane} = W\ W = (Q_{1-2} + Q_{2 - 3}) - Q_{3-1}\ Q_{3-1} = (Q_{1-2} + Q_{2-3}) - W = 1500 kJ = 1,5 MJ [/latex]
h.) Sprawność:
Sprawność to praca do ciepła pobranego razy 100%.
[latex] frac{W}{Q_{pobrane}}*100^o/_o = 9,09 ^o/_o [/latex]
g.) Sprawność silnika Carnota to różnica temperatur do wyższej temperatury razy 100%.
[latex] frac{T_3 - T_1}{T_3}*100^o/_o = frac{7T_1}{8T_1}*100^o/_o = 87,5 ^o/_o [/latex]
Mam nadzieje, że moje odpowiedzi są zrozumiałe :) Błędów nie powinno być lecz jeżeli jakieś będą to przepraszam.
